Криволинейный интеграл

Пускай кривую AB -- задано параметрическими уравнениями:

$x=x\left(t\right),\ \ y=y\left(t\right),\ \ \ \ t\in \left[\alpha ;\beta \right],$где функция $x=x\left(t\right),\ \ y=y\left(t\right)$ и её производные $x=x'\left(t\right),\ \ y=y'\left(t\right)$ -- непрерывны на отрезке $\left[\alpha ;\beta \right]$.

Рассмотрим правую часть уравнения:

$\int\limits_{AB}{f\left(x,y\right)dl=}{\mathop{lim}_{\lambda \to 0} \sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle l_k}\ }$где прирост $\vartriangle l_k$ найдем по формуле:

$l=\int\limits^{\beta }_{\alpha }{\sqrt{{\left(x'\left(t\right)\right)}^2+{\left(y'\left(t\right)\right)}^2}dt}$а потом воспользуемся теоремой о среднем и получим:

$\vartriangle l_k=\int\limits^{t_k}_{t_{k-1}}{\sqrt{{\left(x'\left(t\right)\right)}^2+{\left(y'\left(t\right)\right)}^2}dt}=\sqrt{{\left(x'\left({\tau }_k\right)\right)}^2+{\left(y'\left({\tau }_k\right)\right)}^2}\triangle t_k$где ${\tau }_k\in [t_{k-1};t_k]$.

На каждой промежутке точки Ak-1Ak вместо точки $M_k$выберем точку $\overline{M_k}\left(\overline{{\xi }_k},\overline{{\eta }_k}\right)$ где $\overline{{\xi }_k}=x({\tau }_k)$, $\overline{{\eta }_k}=y\left({\tau }_k\right).$ Тогда:

$$\sum\limits^n_{k=1}{f\left(\overline{{\xi }_k},\overline{{\eta }_k}\right)\vartriangle l_k}=\sum\limits^n_{k=1}{f\left(x({\tau }_k),y\left({\tau }_k\right)\right)\sqrt{{\left(x'\left({\tau }_k\right)\right)}^2+{\left(y'\left({\tau }_k\right)\right)}^2}\triangle t_k}.0$$

Правая часть этого равенства есть интегральной суммой для непрерывной функции

$f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\ \right)\sqrt{{\left(x'\left(t\right)\right)}^2+{\left(y'\left(t\right)\right)}^2}$на отрезке $\left[\alpha ;\beta \right].$ Предел этой суммы при $\lambda \to 0\ \left(\lambda ={\mathop{max}_{k} \left\{\vartriangle l_k\right\}\ }\right)$ это определенный интеграл:

$$\int\limits^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\ \right)\sqrt{{\left(x'\left(t\right)\right)}^2+{\left(y'\left(t\right)\right)}^2}dt}$$

Криволинейный интеграл второго рода

Пускай на плоской кривой AB задано непрерывную функцию $f\left(x,y\right).$ Разобьем кривую AB точками $A=A0, A1, A2, \dots, An=B$ на $n$ частей. На каждом промежутке $Ak-1Ak$ выберем произвольную точку $M_k\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)$ и составим сумму $\sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle x_k},$ где $\vartriangle x_k-$проекция вектора $\overline{A_{k-1}A_k}$ на ось Ox. Эту сумму называют интегральной. Найдем ее границу:

$${\mathop{lim}_{\lambda \to 0} \sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle x_k,\ \ \ \ \lambda ={\mathop{max}_{k} \left\{\vartriangle l_k\right\}.\ }}\ }$$

Таким образом

$$\int\limits_{AB}{f\left(x,y\right)dx={\mathop{lim}_{\lambda \to 0} \sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle x_k}\ }.}$$

Пускай кривую AB -- задано параметрическими уравнениями:

$x=x\left(t\right),\ \ y=y\left(t\right),\ \ \ \ t\in \left[\alpha ;\beta \right],$где функция $x=x\left(t\right),\ \ y=y\left(t\right)$ и её производные $x=x'\left(t\right),\ \ y=y'\left(t\right)$ -- непрерывны на отрезке $\left[\alpha ;\beta \right]$.

Рассмотрим правую часть уравнения:

$\int\limits_{AB}{f\left(x,y\right)dx={\mathop{lim}_{\lambda \to 0} \sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle x_k}\ }}$

Прирост $\vartriangle x_k$ подсчитаем по формуле Лагранжа:

$$\vartriangle x_k=\ x\left(t_k\right)-x\left(t_{k-1}\right)=x'\left({\tau }_k\right)\left(t_k-t_{k-1}\right)=x'\left({\tau }_k\right)\vartriangle t_k.$$

На каждой промежутке точки Ak-1Ak вместо точки $M_k$выберем точку $\overline{M_k}\left(\overline{{\xi }_k},\overline{{\eta }_k}\right)$ где $\overline{{\xi }_k}=x({\tau }_k)$, $\overline{{\eta }_k}=y\left({\tau }_k\right).$ Тогда:

$$\sum\limits^n_{k=1}{f\left(\overline{{\xi }_k},\overline{{\eta }_k}\right)\vartriangle x_k=}\sum\limits^n_{k=1}{f\left(x({\tau }_k),y({\tau }_k)\right)x'\left({\tau }_k\right)\vartriangle t_k}.$$

Правая часть этого равенства есть интегральной суммой для непрерывной функции $f\left(x(t),y(t)\right)x'\left(t\right)$ на отрезке $\left[\alpha ;\beta \right].$

Предел этой суммы при $\lambda \to 0\ \left(\lambda ={\mathop{max}_{k} \left\{\vartriangle l_k\right\}\ }\right)$ это определенный интеграл:

$$\int\limits^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)x'\left(t\right)dt}$$