Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Сложение и вычитание комплексных чисел

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Определение 1

Суммой двух заданных комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i является комплексное число, которое определяется равенством z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.

Другими словами, суммой двух заданных комплексных чисел является комплексное число, действительная и мнимая части которого определяется как сумма соответственно действительных и мнимых частей исходных слагаемых.

Примечание 1

Сумму любого количества заданных комплексных чисел можно найти путем суммирования действительных частей и суммирования мнимых частей слагаемых.

Примечание 2

Для операции суммы комплексных чисел справедливо следующее правило: (от перестановки слагаемых сумма не меняется).

Примечание 3

Сумму двух заданных комплексных чисел можно найти с помощью комплексной плоскости по правилу «параллелограмма» (правило параллелограмма сложения векторов).

Иллюстрация примера сложения комплексных чисел с использованием комплексной плоскости приведена на рис.1-2.

Иллюстрация примера сложения комплексных чисел

Рис. 1

Иллюстрация примера сложения комплексных чисел

Рис. 2

Пример 1

Найти сумму z1+z2 для комплексных чисел:

1) z1=3+2i и z2=12i; 2) z1=3 и z2=1+5i; 3) z1=3+9i и z2=7i.

Решение:

Для сложения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

1) z1+z2=(3+2i)+(12i)=(3+1)+(22)i=4+0i=4

2) z1+z2=(3+0i)+(1+5i)=(3+1)+(0+5)i=4+5i

3) z1+z2=(3+9i)+(07i)=(3+0)+(97)i=3+2i

«Сложение и вычитание комплексных чисел» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Пример 2

Найти модуль суммы |z1+z2| двух заданных комплексных чисел:

1) z1=1+2i и z2=15i; 2) z1=3 и z2=5i; 3) z1=3+9i и z2=7i.

Решение:

Для сложения комплексных чисел воспользуемся определением. Для вычисления модуля комплексного числа воспользуемся формулой:

|z|=a2+b2.

1) Для чисел z1=1+2i и z2=15i получим:

z1+z2=(1+2i)+(15i)=(1+1)+(25)i=2+(3)i

|z1+z2|=22+(3)2=4+9=13.

2) Для чисел z1=3 и z2=5i получим:

z1+z2=(3+0i)+(0+5i)=(3+0)+(0+5)i=3+5i

|z1+z2|=(3)2+(5)2=3+5=8=22.

3) Для чисел z1=3+9i и z2=7i получим:

z1+z2=(3+9i)+(07i)=(3+0)+(97)i=3+2i

|z1+z2|=(3)2+22=3+4=7.

Определение 2

Разностью двух заданных комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i является комплексное число, которое определяется равенством

z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2)+(b1b2)i.

Примечание 4

Модуль разности двух заданных комплексных чисел равен расстоянию между точками, которые изображают эти числа на комплексной плоскости:

|z1z2|=(a1a2)2+(b1b2)2.

Пример 3

Найти разность z1z2 для комплексных чисел:

1) z1=3+2i и z2=12i; 2) z1=3 и z2=1+5i; 3) z1=3+9i и z2=7i.

Решение:

Для нахождения разности комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

1) z1z2=(3+2i)(12i)=(31)+(2(2))i=2+4i

2) z1z2=(3+0i)(1+5i)=(31)+(05)i=25i

3) z1z2=(3+9i)(07i)=(30)+(9(7))i=3+16i

Пример 4

Найти модуль разности двух заданных комплексных чисел:

1) z1=1+2i и z2=15i; 2) z1=3 и z2=5i; 3) z1=3+9i и z2=7i.

Решение:

Воспользуемся формулой из примечания 4.

1) Для чисел z1=1+2i и z2=15i получим:

|z1z2|=(11)2+(2+5)2=02+72=49=7.

2) Для чисел z1=3 и z2=5i получим:

|z1z2|=(30)2+(05)2=(3)2+(5)2=3+5=8=22.

3) Для чисел z1=3+9i и z2=7i получим:

|z1z2|=(30)2+(9+7)2=(3)2+162=3+256=259.

Примечание 5

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рис. 3), используя следующий алгоритм:

  • построить на плоскости комплексное число z2;
  • найти сумму z2 и z1 по правилу параллелограмма.

Построить на плоскости комплексное число

Рис. 3

Примечание 6

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать, используя другой алгоритм:

  • соединить точки, изображающие исходные комплексные числа;
  • достроить параллелограмм;
  • радиус-вектор, параллельный прямой, соединяющей точки, изображающие исходные комплексные числа, изображает разность исходных комплексных чисел - z=z1z2.

Разность исходных комплексных чисел

Рис. 4

Пример 6

Построить на комплексной плоскости сумму и разность изображенных на плоскости комплексных чисел (рис.5): z1+z2,z1z2.

Сумма и разность изображенных на плоскости комплексных чисел

Рис. 5

Решение:

Для построения воспользуемся примечаниями 4 и 6.

Для построения воспользуемся примечаниями 4 и 6

Рис. 6

Дата последнего обновления статьи: 13.11.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Сложение и вычитание комплексных чисел"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant