Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.
Суммой двух заданных комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i является комплексное число, которое определяется равенством
Другими словами, суммой двух заданных комплексных чисел является комплексное число, действительная и мнимая части которого определяется как сумма соответственно действительных и мнимых частей исходных слагаемых.
Сумму любого количества заданных комплексных чисел можно найти путем суммирования действительных частей и суммирования мнимых частей слагаемых.
Для операции суммы комплексных чисел справедливо следующее правило: (от перестановки слагаемых сумма не меняется).
Сумму двух заданных комплексных чисел можно найти с помощью комплексной плоскости по правилу «параллелограмма» (правило параллелограмма сложения векторов).
Иллюстрация примера сложения комплексных чисел с использованием комплексной плоскости приведена на рис.1-2.
Рис. 1
Рис. 2
Найти сумму z1+z2 для комплексных чисел:
1) z1=3+2i и z2=1−2i; 2) z1=3 и z2=1+5i; 3) z1=3+9i и z2=−7i.
Решение:
Для сложения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:
1) z1+z2=(3+2i)+(1−2i)=(3+1)+(2−2)i=4+0⋅i=4
2) z1+z2=(3+0⋅i)+(1+5i)=(3+1)+(0+5)i=4+5i
3) z1+z2=(3+9i)+(0−7i)=(3+0)+(9−7)i=3+2i
Найти модуль суммы |z1+z2| двух заданных комплексных чисел:
1) z1=1+2i и z2=1−5i; 2) z1=√3 и z2=√5i; 3) z1=√3+9i и z2=−7i.
Решение:
Для сложения комплексных чисел воспользуемся определением. Для вычисления модуля комплексного числа воспользуемся формулой:
1) Для чисел z1=1+2i и z2=1−5i получим:
2) Для чисел z1=√3 и z2=√5i получим:
3) Для чисел z1=√3+9i и z2=−7i получим:
Разностью двух заданных комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i является комплексное число, которое определяется равенством
Модуль разности двух заданных комплексных чисел равен расстоянию между точками, которые изображают эти числа на комплексной плоскости:
Найти разность z1−z2 для комплексных чисел:
1) z1=3+2i и z2=1−2i; 2) z1=3 и z2=1+5i; 3) z1=3+9i и z2=−7i.
Решение:
Для нахождения разности комплексных чисел воспользуемся определением и получим:
1) z1−z2=(3+2i)−(1−2i)=(3−1)+(2−(−2))i=2+4i
2) z1−z2=(3+0⋅i)−(1+5i)=(3−1)+(0−5)i=2−5i
3) z1−z2=(3+9i)−(0−7i)=(3−0)+(9−(−7))i=3+16i
Найти модуль разности двух заданных комплексных чисел:
1) z1=1+2i и z2=1−5i; 2) z1=√3 и z2=√5i; 3) z1=√3+9i и z2=−7i.
Решение:
Воспользуемся формулой из примечания 4.
1) Для чисел z1=1+2i и z2=1−5i получим:
2) Для чисел z1=√3 и z2=√5i получим:
3) Для чисел z1=√3+9i и z2=−7i получим:
Рис. 3
На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать, используя другой алгоритм:
- соединить точки, изображающие исходные комплексные числа;
- достроить параллелограмм;
- радиус-вектор, параллельный прямой, соединяющей точки, изображающие исходные комплексные числа, изображает разность исходных комплексных чисел - z=z1−z2.
Рис. 4
Построить на комплексной плоскости сумму и разность изображенных на плоскости комплексных чисел (рис.5): z1+z2,z1−z2.
Рис. 5
Решение:
Для построения воспользуемся примечаниями 4 и 6.
Рис. 6