Сложение и вычитание комплексных чисел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Определение 1

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_{1} +z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)+(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i.\]

Другими словами, суммой двух заданных комплексных чисел является комплексное число, действительная и мнимая части которого определяется как сумма соответственно действительных и мнимых частей исходных слагаемых.

Примечание 1

Сумму любого количества заданных комплексных чисел можно найти путем суммирования действительных частей и суммирования мнимых частей слагаемых.

Примечание 2

Для операции суммы комплексных чисел справедливо следующее правило: (от перестановки слагаемых сумма не меняется).

Примечание 3

Сумму двух заданных комплексных чисел можно найти с помощью комплексной плоскости по правилу «параллелограмма» (правило параллелограмма сложения векторов).

Иллюстрация примера сложения комплексных чисел с использованием комплексной плоскости приведена на рис.1-2.

Иллюстрация примера сложения комплексных чисел

Рис. 1

Иллюстрация примера сложения комплексных чисел

Рис. 2

Пример 1

Найти сумму $z_{1} +z_{2} $ для комплексных чисел:

1) $z_{1} =3+2i$ и $z_{2} =1-2i$; 2) $z_{1} =3$ и $z_{2} =1+5i$; 3) $z_{1} =3+9i$ и $z_{2} =-7i$.

Решение:

Для сложения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

1) $z_{1} +z_{2} =(3+2i)+(1-2i)=(3+1)+(2-2)i=4+0\cdot i=4$

2) $z_{1} +z_{2} =(3+0\cdot i)+(1+5i)=(3+1)+(0+5)i=4+5i$

3) $z_{1} +z_{2} =(3+9i)+(0-7i)=(3+0)+(9-7)i=3+2i$

«Сложение и вычитание комплексных чисел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Найти модуль суммы $|z_{1} +z_{2} |$ двух заданных комплексных чисел:

1) $z_{1} =1+2i$ и $z_{2} =1-5i$; 2) $z_{1} =\sqrt{3} $ и $z_{2} =\sqrt{5} i$; 3) $z_{1} =\sqrt{3} +9i$ и $z_{2} =-7i$.

Решение:

Для сложения комплексных чисел воспользуемся определением. Для вычисления модуля комплексного числа воспользуемся формулой:

\[|z|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } .\]

1) Для чисел $z_{1} =1+2i$ и $z_{2} =1-5i$ получим:

\[z_{1} +z_{2} =(1+2i)+(1-5i)=(1+1)+(2-5)i=2+(-3)\cdot i\]

\[|z_{1} +z_{2} |=\sqrt{2^{2} +(-3)^{2} } =\sqrt{4+9} =\sqrt{13} .\]

2) Для чисел $z_{1} =\sqrt{3} $ и $z_{2} =\sqrt{5} i$ получим:

\[z_{1} +z_{2} =(\sqrt{3} +0\cdot i)+(0+\sqrt{5} \cdot i)=(\sqrt{3} +0)+(0+\sqrt{5} )i=\sqrt{3} +\sqrt{5} \cdot i\]

\[|z_{1} +z_{2} |=\sqrt{(\sqrt{3} )^{2} +(\sqrt{5} )^{2} } =\sqrt{3+5} =\sqrt{8} =2\sqrt{2} .\]

3) Для чисел $z_{1} =\sqrt{3} +9i$ и $z_{2} =-7i$ получим:

\[z_{1} +z_{2} =(\sqrt{3} +9i)+(0-7i)=(\sqrt{3} +0)+(9-7)i=\sqrt{3} +2\cdot i\]

\[|z_{1} +z_{2} |=\sqrt{(\sqrt{3} )^{2} +2^{2} } =\sqrt{3+4} =\sqrt{7} .\]

Определение 2

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} -z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)-(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i.\]

Примечание 4

Модуль разности двух заданных комплексных чисел равен расстоянию между точками, которые изображают эти числа на комплексной плоскости:

\[|z_{1} -z_{2} |=\sqrt{(a_{1} -a_{2} )^{2} +(b_{1} -b_{2} )^{2} } .\]

Пример 3

Найти разность $z_{1} -z_{2} $ для комплексных чисел:

1) $z_{1} =3+2i$ и $z_{2} =1-2i$; 2) $z_{1} =3$ и $z_{2} =1+5i$; 3) $z_{1} =3+9i$ и $z_{2} =-7i$.

Решение:

Для нахождения разности комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

1) $z_{1} -z_{2} =(3+2i)-(1-2i)=(3-1)+(2-(-2))i=2+4i$

2) $z_{1} -z_{2} =(3+0\cdot i)-(1+5i)=(3-1)+(0-5)i=2-5i$

3) $z_{1} -z_{2} =(3+9i)-(0-7i)=(3-0)+(9-(-7))i=3+16i$

Пример 4

Найти модуль разности двух заданных комплексных чисел:

1) $z_{1} =1+2i$ и $z_{2} =1-5i$; 2) $z_{1} =\sqrt{3} $ и $z_{2} =\sqrt{5} i$; 3) $z_{1} =\sqrt{3} +9i$ и $z_{2} =-7i$.

Решение:

Воспользуемся формулой из примечания 4.

1) Для чисел $z_{1} =1+2i$ и $z_{2} =1-5i$ получим:

\[|z_{1} -z_{2} |=\sqrt{(1-1)^{2} +(2+5)^{2} } =\sqrt{0^{2} +7^{2} } =\sqrt{49} =7.\]

2) Для чисел $z_{1} =\sqrt{3} $ и $z_{2} =\sqrt{5} i$ получим:

\[|z_{1} -z_{2} |=\sqrt{(\sqrt{3} -0)^{2} +(0-\sqrt{5} )^{2} } =\sqrt{(\sqrt{3} )^{2} +(-\sqrt{5} )^{2} } =\sqrt{3+5} =\sqrt{8} =2\sqrt{2} .\]

3) Для чисел $z_{1} =\sqrt{3} +9i$ и $z_{2} =-7i$ получим:

\[|z_{1} -z_{2} |=\sqrt{(\sqrt{3} -0)^{2} +(9+7)^{2} } =\sqrt{(\sqrt{3} )^{2} +16^{2} } =\sqrt{3+256} =\sqrt{259} .\]

Примечание 5

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рис. 3), используя следующий алгоритм:

построить на плоскости комплексное число $-z_{2} $;
найти сумму $-z_{2} $ и $z_{1} $ по правилу параллелограмма.

Построить на плоскости комплексное число

Рис. 3

Примечание 6

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать, используя другой алгоритм:

соединить точки, изображающие исходные комплексные числа;
достроить параллелограмм;
радиус-вектор, параллельный прямой, соединяющей точки, изображающие исходные комплексные числа, изображает разность исходных комплексных чисел - $z=z_{1} -z_{2} $.

Разность исходных комплексных чисел