Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Свойства функции распределения, график

Свойства функции распределения

Вначале напомним определение функции распределения вероятностей.

Определение 1

Функцией распределения называется функция F(x) удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X

Введем свойства функции распределения:

1. Функция распределения является неубывающей функцией.

Доказательство: очевидно, что для любых событий $x_1 \[F\left(x_1\right)=P\left(Xч. т. д.

2. Существуют пределы limxF(x)  и limx+F(x) , причем выполняются равенства:

Доказательство: Существование данных пределов следует из непрерывности и ограниченности функции F(x). Докажем сначала, что:



Рисунок 1.

Рассмотрим убывающую последовательность событий $A_n=(X

Лемма 1: Дана убывающая последовательность вложенных друг друга множеств AnAn1A3A2A1 удовлетворяющая условиям A=An и $\mu \left(A_n\right)

Используя лемму 1, получим

Докажем теперь, что:



Рисунок 2.

Рассмотрим убывающую последовательность событий Bn=(Xn), такую чтоBn+1=(X(n+1))Bn=(Xn) для всех n1. Очевидно, что пересечение всех событий Bn B=Bn=. Поэтому, по лемме 1, получим

ч. т. д.

3. F(x) непрерывна слева любой точке, то есть:



Рисунок 3.

«Свойства функции распределения, график» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Доказательство. Существование предела следует из непрерывности и ограниченности функции F(x). Рассмотрим следующую разность F(x0)F(x01n). Очевидно, что

Следовательно, F(x0)F(x01n)0. То есть:



Рисунок 4.

ч. т. д.

4. Для любых x0 выполняется равенство: F(x0+0)F(x0)=P(X=x0).

Это свойство очевидно.

5. Для любых X выполняется равенство: $P\left(a\le X

Доказательство. Очевидно, что $\left(X \[F\left(a\right)+P\left(a\le Xч. т. д.

Примечание 1

Если функция непрерывна во всех точках справа, то$P\left(a\le X\le b\right)=P\left(a

График функции распределения вероятностей

  1. Пусть случайная величина X является дискретной. Тогда график функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой ступенчатую функцию, скачки которой происходят в точках возможных значений случайной величины (рис. 1).

Функция распределения дискретной случайной величины

  1. Пусть случайная величина X теперь является непрерывной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую непрерывную функцию (рис. 2).

Функция распределения непрерывной случайной величины

  1. Пусть случайная величина X является смешанной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую функцию, которая имеет минимальное значение в 0, максимальное значение в 1, но которая не на всей области определения является непрерывной функцией (имеет скачки в отдельных точках) (рис. 3).

Функция распределения смешанной случайной величины

Рисунок 7. Функция распределения смешанной случайной величины

Примеры задач с использованием понятия функции распределения

Пример 1

Приведен ряд распределений появления события A в трех опытах



Рисунок 8.

Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.

Решение.

При x1, F(x)=0;

При $1

При $2

При x>3, F(x)=0,2+0,1+0,3+0,4=1;

Отсюда получаем следующую функцию распределения вероятностей:



Рисунок 9.

Пример 2

Случайная величина задана следующей функцией распределения:



Рисунок 10.

Найти вероятность, что величина X будет принадлежать интервалу (76;;1,2).

Решение. Нам необходимо найти значение $P\left(\frac{7}{6} \[P\left(\frac{7}{6}\le XОтвет: 0,1.

Дата последнего обновления статьи: 20.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Свойства функции распределения, график"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant