Свойства функции распределения
Вначале напомним определение функции распределения вероятностей.
Функцией распределения называется функция F(x) удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X
Введем свойства функции распределения:
1. Функция распределения является неубывающей функцией.
Доказательство: очевидно, что для любых событий $x_1 \[F\left(x_1\right)=P\left(Xч. т. д.
2. Существуют пределы limx→−∞F(x) и limx→+∞F(x) , причем выполняются равенства:
Доказательство: Существование данных пределов следует из непрерывности и ограниченности функции F(x). Докажем сначала, что:
Рисунок 1.
Рассмотрим убывающую последовательность событий $A_n=(X
Лемма 1: Дана убывающая последовательность вложенных друг друга множеств ⋯⊆An⊆An−1⊆⋯⊆A3⊆A2⊆A1 удовлетворяющая условиям A=∩An и $\mu \left(A_n\right)
Используя лемму 1, получим
Докажем теперь, что:
Рисунок 2.
Рассмотрим убывающую последовательность событий Bn=(X≥n), такую чтоBn+1=(X≥(n+1))⊆Bn=(X≥n) для всех n≥1. Очевидно, что пересечение всех событий Bn B=∩Bn=∅. Поэтому, по лемме 1, получим
ч. т. д.
3. F(x) непрерывна слева любой точке, то есть:
Рисунок 3.
Доказательство. Существование предела следует из непрерывности и ограниченности функции F(x). Рассмотрим следующую разность F(x0)−F(x0−1n). Очевидно, что
Следовательно, F(x0)−F(x0−1n)→0. То есть:
Рисунок 4.
ч. т. д.
4. Для любых x0 выполняется равенство: F(x0+0)−F(x0)=P(X=x0).
Это свойство очевидно.
5. Для любых X выполняется равенство: $P\left(a\le X
Доказательство. Очевидно, что $\left(X \[F\left(a\right)+P\left(a\le Xч. т. д.
Если функция непрерывна во всех точках справа, то$P\left(a\le X\le b\right)=P\left(a
График функции распределения вероятностей
- Пусть случайная величина X является дискретной. Тогда график функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой ступенчатую функцию, скачки которой происходят в точках возможных значений случайной величины (рис. 1).
- Пусть случайная величина X теперь является непрерывной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую непрерывную функцию (рис. 2).
- Пусть случайная величина X является смешанной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую функцию, которая имеет минимальное значение в 0, максимальное значение в 1, но которая не на всей области определения является непрерывной функцией (имеет скачки в отдельных точках) (рис. 3).
Рисунок 7. Функция распределения смешанной случайной величины
Примеры задач с использованием понятия функции распределения
Приведен ряд распределений появления события A в трех опытах
Рисунок 8.
Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.
Решение.
При x≤1, F(x)=0;
При $1
При $2
При x>3, F(x)=0,2+0,1+0,3+0,4=1;
Отсюда получаем следующую функцию распределения вероятностей:
Рисунок 9.
Случайная величина задана следующей функцией распределения:
Рисунок 10.
Найти вероятность, что величина X будет принадлежать интервалу (76;;1,2).
Решение. Нам необходимо найти значение $P\left(\frac{7}{6} \[P\left(\frac{7}{6}\le XОтвет: 0,1.