Экстремумы функции
Для того чтобы ввести понятие возрастающих и убывающих функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.
Точка x′ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции f(x).
Точка x′ будет называться точкой максимума для введенной функции f(x), если у она имеет такую окрестность, что для всех точек x, которые входят в эту окрестность, будет верно f(x)≤f(x′ ).
Точка x′ будет называться точкой минимума для введенной функции f(x), если она имеет такую окрестность, что для всех точек x, которые входят в эту окрестность, будет верно f(x)≥f(x′ ).
Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.
Точка x′ будет называться критической точкой для данной функции f(x), если выполняются два следующих условия:
- Точка x′ является внутренней точкой для области определения данной функции;
- f′(x′ )=0 или не существует.
Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.
Если y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.
Пусть точка x′ будет критической для y=f(x) и принадлежит интервалу (a,b), причем на каждом интервале (a,x′ ) и (x′ ,b) производная f′(x) существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:
- Если в (a,x′ ) f′(x)>0, а в (x′ ,b) $f'\left(x\right)
- Если в (a,x′ ) f′(x)0, то x′ --будет точкой минимума для этой функции.
- Если и в (a,x′ ), и в (x′ ,b) производная $имеет\ один\ и\ тот\ же\ постоянный\ знак,тоx'$ не будет точкой экстремума для этой функции.
На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.
Рисунок 1.
Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.
Рисунок 2.
Правило исследования на экстремум
- Найти D(f);
- Найти f′(x);
- Найти точки, где f′(x)=0;
- Найти точки, где f′(x) не будет существовать;
- Отметить на координатной прямой D(f) и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
- Определить знак f′(x) на полученных промежутках;
- Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.
Возрастание и убывание функции
Функция y=f(x), которая имеет своей областью определения множество X, будем называть возрастающей, если для любых точек x1,x2∈X при $x_1
Функция y=f(x), которая имеет своей областью определения множество X, будем называть убывающей, если для любых точек x1,x2∈X при x1f(x2).
Чаще всего функции исследуют на возрастание и убывание с помощью средств математического анализа, а именно производной.
Приведем схему для такого исследования.
- \item Найти D(f);
- Найти f′(x);
- Найти точки, где f′(x)=0;
- Найти точки, где f′(x) не будет существовать;
- Отметить на координатной прямой D(f) и все найденные выше точки;
- Определить знак f′(x) на всех получившихся промежутках;
- Сделать вывод: там, где f′(x)0 функция будет возрастать.
Пример задачи
Исследовать функцию на монотонность. f(x)=4x3−30x2+72x+13
- D(f)=R;
- f′(x)=12x2−60x+72;
-
f′(x)=0;
12x2−60x+72=0x2−5x+6=0x=3, x=2 -
f′(x) существует во всей D(f);
-
Рисунок 3. - f′(x)>0, при (−∞,2) (3,+∞)\[f'\left(x\right)
-
Изображая все на одном рисунке, получим:
Рисунок 4.
Вывод:
Функция будет возрастать в промежутках (−∞,2) (3,+∞), функция будет убывать в промежутках (2,3).
