Линейные неравенства с двумя неизвестными

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие линейного неравенства с двумя неизвестными

Определение 1

Неравенство $ax+by\cdot c$ , где $\cdot$ один из следующих знаков $≥ ,>, ≤ ,линейным неравенством с двумя неизвестными.

Пример 1

$2x-y\ge 5$

Определение 2

Если при подстановке двух чисел в неравенство с двумя неизвестными оно становится верным, то эта пара чисел является решением этого неравенства.

Пример 2

Пара чисел $(0,\ \ 1)$ - решение неравенства $x-2y

Приведем теперь два свойства для понятия линейных неравенств с двумя неизвестными:

Одно и тоже число можно прибавлять к обоим сторонам неравенства, чтобы оно оставалось неизменным.
При умножении обоих частей неравенства на положительное число оно останется неизменным.
При умножении на отрицательное число и изменении знака на противоположный оно останется неизменным

Пример 3

Неравенства

$x-2y >2$

$x-2y+1 >3$ \[-3\left(x-2y+1\right)равносильны.

График линейного неравенства с двумя неизвестными

Определение 3

Множество точек координатной плоскости, которые являются решением какого-либо линейного неравенства с двумя неизвестными называется решением этого неравенства.

Пример 4

Построим решение линейного неравенства $2x-y\ge -3$

Выражаем $y$ через $x$ :

$-y\ge -3-2x$

$y\le 2x+3$

Строим прямую $y=2x+3$

Так как неравенство имеет знак «меньше или равно», получим решение, изображенное на рисунке $1$ ( на рисунке оно изображено серым цветом). Заметим, что прямая также входит в решение, так как в неравенстве присутствует знак равенства.

Рисунок 1.

«Линейные неравенства с двумя неизвестными» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример задач

Пример 5

Решить неравенство $x-y

Решение.

Выражаем $y$ через $x$ :

$-yx-1$

Изобразим график уравнения $y=x-1$

Так как последнее неравенство имеет знак «больше», получим решение, изображенное на рисунке $2$ ( на рисунке оно изображено серым цветом). Заметим, что прямая не входит в решение, так как в неравенстве не присутствует знак равенства.

Рисунок 2.

Пример 6

Решить неравенство $x-2y\le 2$

Решение.

Выражаем $y$ через $x$ :

$-2y\le 2-x$

$y\ge \frac{x}{2}-1$

Изобразим график уравнения $y=\frac{x}{2}-1$

Так как последнее неравенство имеет знак «больше или равно», получим решение, изображенное на рисунке $3$ (на рисунке оно изображено серым цветом). Заметим, что прямая входит в решение, так как в неравенстве присутствует знак равенства.

Рисунок 3.

Пример 7

Решить неравенство $x-y\ge 0$

Решение.

Выражаем $y$ через $x$ :

$-y\ge 2-x$

$y\le x$

Изобразим график уравнения $y=x$

Так как последнее неравенство имеет знак «меньше или равно», получим решение, изображенное на рисунке $4$ (на рисунке оно изображено серым цветом). Заметим, что прямая входит в решение, так как в неравенстве присутствует знак равенства.

Рисунок 4.