Четные функции
Функцию y=f(x), которая имеет своей областью определения множество X, будем называть четной, если для всех точек из множества X будет выполняться
f(x)=f(−x)Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).
Рисунок 1.
Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную x на переменную −x, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.
Нечетные функции
Функцию y=f(x), которая имеет своей областью определения множество X, будем называть нечетной, если для всех точек из множества X будет выполняться
f(−x)=−f(x)Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).
Рисунок 2.
Для исследования функции на нечетность необходимо в его аналитической записи заменить переменную x на переменную −x, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 2.
Функция общего вида
Функцию y=f(x), которая имеет своей областью определения множество X, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.
Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную x на переменную −−x, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.
Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.
Рисунок 3.
Пример задачи
Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.
а) f(x)=x2+3
б) f(x)=x2+4x
в) f(x)=sinx+cosx
Решение.
а) f(x)=x2+3
f(−x)=(−x)2+3=x2+3=f(x)\textit{ }следовательно, f(x) -- четная функция.
Изобразим её на графике:
Рисунок 4.
б) f(x)=x2+4x
f(−x)=(−x)2+4−x=−x2+4x следовательно, f(x) -- нечетная функция.
Изобразим её на графике:
Рисунок 5.
в) f(x)=sinx+cosx
f(−x)=sin(−x) +cos(−x) =cosx−sinx следовательно, f(x) -- функция общего вида.
Изобразим её на графике:
Рисунок 6.
