Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Все предметы / Математика / Тригонометрические функции / Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Основные понятия

Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.

Определение 1

Нечетная функция -- функция, которая меняет свое значение на противоположное при изменении знака независимой переменной:

\[f\left(-x\right)=-f(x)\]
Определение 2

Четная функция -- функция, которая не меняет свое значение при изменении знака независимой переменной:

\[f\left(-x\right)=f(x)\]
Определение 3

Функция, которая повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал времени:

\[f\left(x\right)=f(x+T)\]

T -- период функции.

Четность и нечетность тригонометрических функций

Рассмотрим следующий рисунок (рис. 1):



Рисунок 1.

Здесь $\overrightarrow{OA_1}=(x_1,y_1)$ и $\overrightarrow{OA_2}=(x_2,y_2)$ -- симметричные относительно оси $Ox$ векторы единичной длины.

Очевидно, что координаты этих векторов связаны следующими соотношениями:

Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что функция синуса будет нечетной, а функция косинуса -- четной функцией, то есть:

Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то

Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то

Периодичность тригонометрических функций

Рассмотрим следующий рисунок (рис. 2).

Готовые работы на аналогичную тему



Рисунок 2.

Здесь $\overrightarrow{OA}=(x,y)$ -- вектор единичной длины.

Сделаем полный оборот вектором $\overrightarrow{OA}$. То есть повернем данный вектор на $2\pi $ радиан. После этого вектор полностью вернется в начальное положение.

Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что

То есть функции синуса и косинуса являются периодическими функциями с наименьшим периодом $T=2\pi $.

Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то

Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то

Примеры задач на использование четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций

Пример 1

Доказать следующие утверждения:

а) $tg{385}^0=tg{25}^0$

б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$

в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$

Решение.

а) $tg{385}^0=tg{25}^0$

Так как тангенс -- периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим

\[tg{385}^0=tg{(360}^0+{25}^0)=tg{25}^0\]

б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$

Так как косинус -- четная и периодическая функция с минимальным периодом $2\pi $, то получим

\[{cos \left(-13\pi \right)\ }={cos 13\pi \ }={cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ }=-1\]

в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$

Так как синус -- нечетная и периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим

\[sin{(-721}^0)=-sin{721}^0=-{sin \left({720}^0+1^0\right)\ }=-sin1^0\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис