Формула куба суммы является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним.
Бином Ньютона
Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.
Эта формула имеет следующий вид:
(α+β)z=C0zαz+C1zαz−1β+C2zαz−2β2+⋯+Cz−1zαβz−1+Czzβz
Здесь числа C0z,C1z,…,Cz−1z,Czz называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всего эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).
Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.
Формула куба суммы через Бином Ньютона
Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба суммы (α+β)3. Из этой формулы получаем:
(α+β)3=C03α3+C13α2β+C23aβ2+C33β3
Из таблицы 2, получаем:
C03α3+C13α2β+C23aβ2+C33β3=α3+3α2β+3aβ2+β3
Следовательно, получаем что, куб суммы двух выражений равняется сумме кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата первого со вторым, умноженного на три и произведением квадрата второго с первым, также умноженного на три, то есть:
(α+β)3=α3+3α2β+3aβ2+β3
Формула куба суммы через другие формулы
Формулу куба суммы можно также найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы:
(α+β)2=α2+2aβ+β2
Итак, получаем:
(α+β)3=(α+β)2(α+β)=(α2+2aβ+β2)(α+β)
Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:
(α2+2aβ+β2)(α+β)=α3+α2β+2α2β+2aβ2+aβ2+β3=α3+3α2β+3aβ2+β3
Следовательно, получаем что, куб суммы двух выражений равняется сумме кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата первого со вторым, умноженного на три и произведением квадрата второго с первым, также умноженного на три, то есть:
(α+β)3=α3+3α2β+3aβ2+β3
Примеры задач
Найти куб выражения (2x+3y)
Решения
Из формулы куба суммы, получаем:
(2x+3y)3=(2x)3+3⋅(2x)2⋅3y+3⋅2x⋅(3y)2+(3y)3=8x3+36x2y+54xy2+27y3
Возвести в куб:
а) (−8α−5β)3
б) (q2+7)3
Решение.
а) (−8α−5β)3
Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак «минус» за скобки, получим:
(−8α−5β)2=−(8α+5β)3
Используем формулу куба суммы:
(8α+5β)3=(8α)3+3⋅(8α)2⋅5β+3⋅8α⋅(5β)2+(5β)3=512α3+960α2β+600αβ2+125β3
Окончательно
(−8α−5β)3=−512α3−960α2β−600αβ2−125β3
б) (q2+7)2
Используем формулу куба суммы:
(q2+7)2=(q2)3+3⋅(q2)2⋅7+3⋅q2⋅72+73=q6+21q4+147q2+343
Представить в виде куба 8x3+12x2+6x+1
Решение.
Это выражение можно записать следующим образом:
8x3+12x2+6x+1=(2x)3+3⋅(2x)2⋅1+3⋅2x⋅1+13
Следовательно, по формуле куба суммы
8x3+12x2+6x+1=(2x+1)3
Вывести формулу куба суммы трех выражений.
Решение.
По условию задачи нам нужно раскрыть скобки в следующем выражении
(α+β+γ)3
Считая (α+β) за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем
(α+β+γ)3=(α+β)3+3(α+β)2γ+3(α+β)γ2+γ3
По формулам куба и квадрата сумм, подставляя и раскрывая скобки, будем получать
(α+β+γ)3=α3+3α2β+3aβ2+β3+3α2γ+6αβγ+3β2γ+3αγ2+3βγ2+γ3
Окончательно
(α+β+γ)3=α3+β3+γ3+3α2β+3α2γ+3aβ2+3αγ2+3βγ2+3β2γ+6αβγ
Таким образом, используя различные такие формулы можно вывести еще множество формул для сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности они помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.