Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Куб суммы

Формула куба суммы является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним.

Бином Ньютона

Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.

Эта формула имеет следующий вид:

(α+β)z=C0zαz+C1zαz1β+C2zαz2β2++Cz1zαβz1+Czzβz

Здесь числа C0z,C1z,,Cz1z,Czz называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всего эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).

Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.

Формула куба суммы через Бином Ньютона

Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба суммы (α+β)3. Из этой формулы получаем:

(α+β)3=C03α3+C13α2β+C23aβ2+C33β3

Из таблицы 2, получаем:

C03α3+C13α2β+C23aβ2+C33β3=α3+3α2β+3aβ2+β3

Следовательно, получаем что, куб суммы двух выражений равняется сумме кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата первого со вторым, умноженного на три и произведением квадрата второго с первым, также умноженного на три, то есть:

(α+β)3=α3+3α2β+3aβ2+β3

Формула куба суммы через другие формулы

Формулу куба суммы можно также найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы:

«Куб суммы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

(α+β)2=α2+2aβ+β2

Итак, получаем:

(α+β)3=(α+β)2(α+β)=(α2+2aβ+β2)(α+β)

Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:

(α2+2aβ+β2)(α+β)=α3+α2β+2α2β+2aβ2+aβ2+β3=α3+3α2β+3aβ2+β3

Следовательно, получаем что, куб суммы двух выражений равняется сумме кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата первого со вторым, умноженного на три и произведением квадрата второго с первым, также умноженного на три, то есть:

(α+β)3=α3+3α2β+3aβ2+β3

Примеры задач

Пример 1

Найти куб выражения (2x+3y)

Решения

Из формулы куба суммы, получаем:

(2x+3y)3=(2x)3+3(2x)23y+32x(3y)2+(3y)3=8x3+36x2y+54xy2+27y3

Замечание 1

Особое внимание нужно обращать на то, что формулу необходимо применять к одночленам, входящим в сумму, целиком. Частой ошибкой в таком случае бывает, что в куб возводится только часть одночлена (к примеру, возводят не 3y целиком, а только y, что приводит к ошибке!!!)

Пример 2

Возвести в куб:

а) (8α5β)3

б) (q2+7)3

Решение.

а) (8α5β)3

Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак «минус» за скобки, получим:

(8α5β)2=(8α+5β)3

Используем формулу куба суммы:

(8α+5β)3=(8α)3+3(8α)25β+38α(5β)2+(5β)3=512α3+960α2β+600αβ2+125β3

Окончательно

(8α5β)3=512α3960α2β600αβ2125β3

б) (q2+7)2

Используем формулу куба суммы:

(q2+7)2=(q2)3+3(q2)27+3q272+73=q6+21q4+147q2+343

Пример 3

Представить в виде куба 8x3+12x2+6x+1

Решение.

Это выражение можно записать следующим образом:

8x3+12x2+6x+1=(2x)3+3(2x)21+32x1+13

Следовательно, по формуле куба суммы

8x3+12x2+6x+1=(2x+1)3

Пример 4

Вывести формулу куба суммы трех выражений.

Решение.

По условию задачи нам нужно раскрыть скобки в следующем выражении

(α+β+γ)3

Считая (α+β) за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем

(α+β+γ)3=(α+β)3+3(α+β)2γ+3(α+β)γ2+γ3

По формулам куба и квадрата сумм, подставляя и раскрывая скобки, будем получать

(α+β+γ)3=α3+3α2β+3aβ2+β3+3α2γ+6αβγ+3β2γ+3αγ2+3βγ2+γ3

Окончательно

(α+β+γ)3=α3+β3+γ3+3α2β+3α2γ+3aβ2+3αγ2+3βγ2+3β2γ+6αβγ

Таким образом, используя различные такие формулы можно вывести еще множество формул для сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности они помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.

Дата последнего обновления статьи: 25.06.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Куб суммы"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant