Формула куба суммы является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним.
Бином Ньютона
Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.
Эта формула имеет следующий вид:
$(α+β)^z=C_z^0 α^z+C_z^1 α^{z-1} β+C_z^2 α^{z-2} β^2+⋯+C_z^{z-1} αβ^{z-1}+C_z^z β^z$
Здесь числа $C_z^0,C_z^1,…,C_z^{z-1},C_z^z$ называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всего эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).
Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.
Формула куба суммы через Бином Ньютона
Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба суммы $(α+β)^3$. Из этой формулы получаем:
$(α+β)^3=C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 β+C_3^2 aβ^2+C_3^3 β^3$
Из таблицы 2, получаем:
$C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 β+C_3^2 aβ^2+C_3^3 β^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3$
Следовательно, получаем что, куб суммы двух выражений равняется сумме кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата первого со вторым, умноженного на три и произведением квадрата второго с первым, также умноженного на три, то есть:
$(α+β)^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3$
Формула куба суммы через другие формулы
Формулу куба суммы можно также найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы:
$(α+β)^2=α^2+2aβ+β^2$
Итак, получаем:
$(α+β)^3=(α+β)^2 (α+β)=(α^2+2aβ+β^2 )(α+β)$
Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:
$(α^2+2aβ+β^2 )(α+β)=α^3+α^2 β+2α^2 β+2aβ^2+aβ^2+β^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3$
Следовательно, получаем что, куб суммы двух выражений равняется сумме кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата первого со вторым, умноженного на три и произведением квадрата второго с первым, также умноженного на три, то есть:
$(α+β)^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3$
Примеры задач
Найти куб выражения $(2x+3y)$
Решения
Из формулы куба суммы, получаем:
$(2x+3y)^3=(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 3y+3\cdot 2x\cdot (3y)^2+(3y)^3=8x^3+36x^2 y+54xy^2+27y^3$
Возвести в куб:
а) $(-8α-5β)^3$
б) $(q^2+7)^3$
Решение.
а) $(-8α-5β)^3$
Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак «минус» за скобки, получим:
$(-8α-5β)^2=-(8α+5β)^3$
Используем формулу куба суммы:
$(8α+5β)^3=(8α)^3+3\cdot (8α)^2\cdot 5β+3\cdot 8α\cdot (5β)^2+(5β)^3=512α^3+960α^2 β+600αβ^2+125β^3$
Окончательно
$(-8α-5β)^3=-512α^3-960α^2 β-600αβ^2-125β^3$
б) $(q^2+7)^2$
Используем формулу куба суммы:
$(q^2+7)^2=(q^2)^3+3\cdot (q^2)^2\cdot 7+3\cdot q^2\cdot 7^2+7^3=q^6+21q^4+147q^2+343$
Представить в виде куба $8x^3+12x^2+6x+1$
Решение.
Это выражение можно записать следующим образом:
$8x^3+12x^2+6x+1=(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot 2x\cdot 1+1^3$
Следовательно, по формуле куба суммы
$8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3$
Вывести формулу куба суммы трех выражений.
Решение.
По условию задачи нам нужно раскрыть скобки в следующем выражении
$(α+β+γ)^3$
Считая $(α+β)$ за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем
$(α+β+γ)^3=(α+β)^3+3(α+β)^2 γ+3(α+β)γ^2+γ^3$
По формулам куба и квадрата сумм, подставляя и раскрывая скобки, будем получать
$(α+β+γ)^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3+3α^2 γ+6αβγ+3β^2 γ+3αγ^2+3βγ^2+γ^3$
Окончательно
$(α+β+γ)^3=α^3+β^3+γ^3+3α^2 β+3α^2 γ+3aβ^2+3αγ^2+3βγ^2+3β^2 γ+6αβγ$
Таким образом, используя различные такие формулы можно вывести еще множество формул для сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности они помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.
