Осевая и центральная симметрия

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие движения

Разберем сначала такое понятие как движение.

Определение 1

Отображение плоскости называется движением плоскости, если при этом отображении сохраняются расстояния.

Существуют несколько теорем, связанных с этим понятием.

Теорема 1

Отрезок, при движении, переходит в равный ему отрезок.

Теорема 2

Треугольник, при движении, переходит в равный ему треугольник.

Теорема 3

Любая фигура, при движении, переходит в равную ей фигуру.

Осевая и центральная симметрия являются примерами движения. Рассмотрим их более подробно.

Осевая симметрия

Определение 2

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$ , если эта прямая перпендикулярна к отрезку ${AA}_1$ и проходит через его центр (рис. 1).

Рисунок 1.

Рассмотрим осевую симметрию на примере задачи.

Пример 1

Построить симметричный треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$ . Будем строить его симметрию относительно стороны $BC$ . Сторона $BC$ при осевой симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $A$ перейдет в точку $A_1$ следующим образом: ${AA}_1\bot BC$ , ${AH=HA}_1$ . Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник $A_1BC$ (Рис. 2).

Рисунок 2.

Определение 3

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$ , если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре (рис. 3).

Рисунок 3.

«Осевая и центральная симметрия» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

На рисунке $3$ изображен прямоугольник. Он обладает осевой симметрией относительно каждого своего диаметра, а также относительно двух прямых, которые проходят через центры противоположных сторон данного прямоугольника.

Центральная симметрия

Определение 4

Точки $X$ и $X_1$ называются симметричными относительно точки $O$ , если точка $O$ является центром отрезка ${XX}_1$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим центральную симметрию на примере задачи.

Пример 2

Построить симметричный треугольник для данного треугольника какой-либо его вершины.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$ . Будем строить его симметрию относительно вершины $A$ . Вершина $A$ при центральной симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $B$ перейдет в точку $B_1$ следующим образом ${BA=AB}_1$ , а точка $C$ перейдет в точку $C_1$ следующим образом: ${CA=AC}_1$ . Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник ${AB}_1C_1$ (Рис. 5).

Рисунок 5.

Определение 5

Фигура является симметричной относительно точки $O$ , если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре(рис. 6).

Рисунок 6.

На рисунке $6$ изображен параллелограмм. Он обладает центральной симметрией относительно точки пересечения его диагоналей.

Пример задачи.

Пример 3

Пусть нам дан отрезок $AB$ . Построить его симметрию относительно прямой $l$ , не пересекающий данный отрезок и относительно точки $C$ , лежащей на прямой $l$ .

Решение.

Изобразим схематически условие задачи.

Рисунок 7.

Изобразим для начала осевую симметрию относительно прямой $l$ . Так как осевая симметрия является движением, то по теореме $1$ , отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A'B'$ . Для его построение сделаем следующее: проведем через точки $A\ и\ B$ прямые $m\ и\ n$ , перпендикулярно прямой $l$ . Пусть $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$ . Далее проведем отрезки $A'X=AX$ и $B'Y=BY$ .

Рисунок 8.

Изобразим теперь центральную симметрию относительно точки $C$ . Так как центральная симметрия является движением, то по теореме $1$ , отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A''B''$ . Для его построения сделаем следующее: проведем прямые $AC\ и\ BC$ . Далее проведем отрезки $A^{''}C=AC$ и $B^{''}C=BC$ .