Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие движения

Отображение плоскости на себя

Определение 1

Отображение плоскости на себя - это такое соответствие каждой точке плоскости какой-либо точки этой же плоскости, при котором каждая точка плоскость будет сопоставленной для какой-либо точки.

Примерами отображения плоскости на себя могут являться осевая симметрия (рис. 1,а) и центральная симметрия (рис. 1,б).

а) осевая симметрия; б) центральная симметрия

Рисунок 1. а) осевая симметрия; б) центральная симметрия

Понятие движения

Введем теперь определение движения.

Определение 2

Движением плоскости называется такое отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния (рис. 2).

Пример движения

Рисунок 2. Пример движения

Теоремы, связанные с понятием движения

Теорема 1

При движении отрезок отображается на равный ему отрезок.

Доказательство.

Пусть нам дан отрезок $MN$. Пусть при заданном движении плоскости точка $M$ отображается на точку $M_1$ этой плоскости, а точка $N$ отображается на точку $N_1$ этой плоскости. Возьмем произвольную точку $P$ отрезка $MN$. Пусть она отображается в точку $\ P_1$ этой плоскости (рис. 3).

Отображение отрезка на отрезок при движении

Рисунок 3. Отображение отрезка на отрезок при движении

Готовые работы на аналогичную тему

Так как точка $P$ принадлежит отрезку $MN$, то выполняется равенство

Так как, по определению движения, расстояния сохраняются, то

Следовательно

Значит, точка $P_1$ лежит на отрезке $M_1N_1$. В силу произвольности выбора точки $P_1$ получаем, что отрезок $MN$ при движении отобразится на отрезок $M_1N_1$. Равенство же этих отрезков сразу вытекает из определения движения.

Теорема доказана.

Теорема 2

При движении треугольник отображается на равный треугольник.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. По теореме 1, отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$, отрезок $AC$ переходит в отрезок $A_1C_1$, отрезок $BC$ переходит в отрезок $B_1C_1$, причем ${AB=A}_1B_1$, ${AC=A}_1C_1$, ${BC=B}_1C_1$. Следовательно, по III признаку равенства треугольников, треугольник $ABC$ переходит в равный ему треугольник $A_1B_1C_1$.

Теорема доказана.

Аналогично можно доказать, что луч отображается на луч, угол отображается на равный ему угол.

Для формулирования следующей теоремы вначале ведем следующее определение.

Определение 3

Наложением называется такое движение плоскости, которое обладает следующими аксиомами:

  1. Если при движении совпадают концы двух отрезков, то совпадают и сами отрезки.
  2. От начала любого луча можно отложить отрезок, равный данному отрезку и притом только один.
  3. В любую полуплоскость от любого луча можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, причем только один.
  4. Любая фигура является равной самой себе.
  5. Если фигура 1 равна фигуре 2, то и фигура 2 равна фигуре 1.
  6. Если фигура 1 равна фигуре 2, а фигура 2 равна фигуре 3, то фигура 1 равна фигуре 3.
Теорема 3

Любое движение является наложением.

Доказательство.

Рассмотрим движение $g$ треугольника $ABC$. По теореме 2, при движении $g$ треугольник $ABC$ переход в равный ему треугольник $A_1B_1C_1$. По определению равных треугольников получаем, что существует наложение $f$, отображающее точки $A,B\ и\ C$ на точки $A_1,B_1\ и\ C_1$, соответственно. Докажем, что $g$ совпадает с $f$.

Предположим противное, что $g$ не совпадает с $f$. Тогда существует по крайней мере одна точка $M$, которая при движении $g$ переходит в точку $M_1$, а при наложении $f$ - в точку $M_2$. Так как, при $f$ и $g$ сохраняются расстояния, то имеем

То есть точка $A_1$ равноудалена от точек $M_1$ и $M_2$. Аналогично получим, что точки $B_1\ и\ C_1$ равноудалены от точек $M_1$ и $M_2$. Значит точки $A_1,B_1\ и\ C_1$ лежат на прямой, перпендикулярной к отрезку $M_1M_2$ и проходящей через его центр. Это не возможно, так как точки $A_1,B_1\ и\ C_1$ не лежат на одной прямой. Следовательно, движение $g$ совпадает с наложением $f$.

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие движения

Пример 1

Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Доказательство.

Пусть нам дан угол $AOB$. Пусть при заданном движении точки $A,\ O\ и\ B$ отображаются на точки $A_1,\ O_1\ и\ B_1$. По теореме 2 получаем, что треугольник $AOB$ отображается на треугольник $A_1O_1B_1$, причем эти треугольники равны между собой. Следовательно, $\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис