Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям первого порядка

Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям первого порядка

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Дифференциальные уравнения второго порядка, в которых правая часть не зависит от неизвестной функции и её производной

Таким дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида $y''=f\left(x\right)$ . В нем правая часть не зависит от неизвестной функции $y$ и её производной $y'$ , а зависит только от $x$ . Решается это уравнение последовательным интегрированием.

Представим его в таком виде: $\frac{d}{dx} \left(y'\right)=f\left(x\right)$ , откуда $d\left(y'\right)=f\left(x\right)\cdot dx$ .

Интегрируем первый раз, используя то свойство, что неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: $\int d\left(y'\right) =\int f\left(x\right)\cdot dx$ или $y'=\int f\left(x\right)\cdot dx +C_{1}$ , где $C_{1}$ -- произвольная постоянная.

Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка сведено теперь к дифференциальному уравнению первого порядка, которое можно представить в таком виде: $dy=\left(\int f\left(x\right)\cdot dx +C_{1} \right)\cdot dx$ .

Интегрируем полученное дифференциальное уравнение повторно: $y=\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx +C_{1} \right)\cdot dx =\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx \right)\cdot dx +\int C_{1} \cdot dx$ . Окончательно получаем: $y=\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx \right)\cdot dx +C_{1} \cdot x+C_{2}$ , где $C_{2}$ -- произвольная постоянная.

Процесс интегрирования завершен. Получена неизвестная функция $y$ , которая является общим решением данного дифференциального уравнения второго порядка.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=f\left(x\right)$ может быть представлен в следующем виде:

находим интеграл $I_{1} \left(x\right)=\int f\left(x\right)\cdot dx$ и записываем первую производную искомой функции в виде $y'\left(x,C_{1} \right)=I_{1} \left(x\right)+C_{1}$ ;
находим интеграл $I_{2} \left(x\right)=\int I_{1} \left(x\right)\cdot dx$ и записываем окончательно общее решение данного дифференциального уравнения: $y=I_{2} \left(x\right)+C_{1} \cdot x+C_{2}$ ;
для поиска частного решения начальные условия подставляем в выражение для первой производной $y'$ , а также в общее решение; в результате находим значения произвольных постоянных $C_{1}$ и $C_{2}$ .

«Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям первого порядка» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y''=4$ . Записать также его частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям $y=1$ при $x=1$ , $y'=1$ при $x=1$ .

В данном дифференциальном уравнении правая часть не зависит ни от неизвестной функции $y$ , ни от её производной $y'$ . Следовательно, оно решается последовательным интегрированием два раза подряд.

Находим интеграл $I_{1} \left(x\right)=\int f\left(x\right)\cdot dx =\int 4\cdot dx =4\cdot x$ . Записываем выражение для первой производной в виде $y'\left(x,C_{1} \right)=I_{1} \left(x\right)+C_{1}$ , то есть $y'=4\cdot x+C_{1}$ .

Находим интеграл $I_{2} \left(x\right)=\int I_{1} \left(x\right)\cdot dx =\int 4\cdot x\cdot dx =2\cdot x^{2}$ . Записываем окончательно общее решение в виде $y=I_{2} \left(x\right)+C_{1} \cdot x+C_{2}$ . Получаем: $y=2\cdot x^{2} +C_{1} \cdot x+C_{2}$ .

Ищем частное решение. Подставляем начальное условие $y'=1$ при $x=1$ в выражение для $y'$ : $1=4\cdot 1+C_{1}$ , откуда $C_{1} =-3$ . Подставляем начальное условие $y=1$ при $x=1$ в выражение для $y$ : $1=2\cdot 1^{2} +\left(-3\right)\cdot 1+C_{2}$ , откуда $C_{2} =2$ . Таким образом, частное решение имеет вид: $y=2\cdot x^{2} -3\cdot x+2$ .

Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие неизвестной функции

Указанные дифференциальные уравнения второго порядка допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.

Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее неизвестной функции $y$ , имеет вид $y''=f\left(x,y'\right)$ .

Для его решения применяют замену $y'=z\left(x\right)$ .

При этом $y''=z'\left(x\right)$ . После подстановки данное дифференциальное уравнение приобретает вид дифференциального уравнения первого порядка относительно $z$ , то есть $z'=f\left(x,z\right)$ . Решая его, находим $z\left(x\right)=\phi \left(x,C_{1} \right)$ .

В свою очередь, поскольку $y'=z\left(x\right)$ , то $y'=\phi \left(x,C_{1} \right)$ . Это также дифференциальное уравнение первого порядка, которое допускает непосредственное интегрирование. Следовательно, интегрируя еще раз, окончательно получаем общее решение $y=\int \phi \left(x,C_{1} \right)\cdot dx +C_{2}$ .

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=f\left(x,y'\right)$ может быть представлен в следующем виде:

переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$ , формально заменив $y''$ на $z'$ , а $y'$ -- на $z$ ;
полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
найденное решение $z=\phi \left(x,C_{1} \right)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y'=\phi \left(x,C_{1} \right)$ , которое допускает непосредственное интегрирование;
находим интеграл $I=\int \phi \left(x,C_{1} \right)\cdot dx$ и получаем общее решение в виде $y=I+C_{2}$ .

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения $y''-\frac{y'}{x} =3\cdot x$ .

Данное дифференциальное уравнение не содержит неизвестной функции $y$ , поэтому переписываем его в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$ , формально заменив $y''$ на $z'$ , а $y'$ -- на $z$ . Получаем: $z'-\frac{z}{x} =3\cdot x$ .

Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным неоднородным, решая которое известным методом, получаем $z=\left(3\cdot x+C_{1} \right)\cdot x$ .

Найденное решение представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y'=\phi \left(x,C_{1} \right)$ , то есть $y'=\left(3\cdot x+C_{1} \right)\cdot x$ . Это дифференциальное уравнение допускает непосредственное интегрирование.

Находим интеграл $I=\int \phi \left(x,C_{1} \right)\cdot dx =\int \left(3\cdot x+C_{1} \right)\cdot x\cdot dx =x^{3} +C_{1} \cdot \frac{x^{2} }{2}$ и получаем общее решение в виде $y=I+C_{2} =x^{3} +C_{1} \cdot \frac{x^{2} }{2} +C_{2}$ . Это общее решение можно представить также в виде $y=x^{3} +C_{1} \cdot x^{2} +C_{2}$ .

Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной

Указанные дифференциальные уравнения второго порядка также допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.

Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной $x$ , имеет вид $y''=f\left(y,y'\right)$ .

Для его решения применяют замену $y'=z\left(y\right)$ .

Ищем вторую производную: $y''=\frac{d\left(y'\right)}{dx} =\frac{d\left(y'\right)}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} =\frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} =\frac{dz}{dy} \cdot z\left(y\right)$ .

Подставляем выражения для $y'$ и $y''$ в данное дифференциальное уравнение: $z\cdot \frac{dz}{dy} =f\left(y,z\right)$ . Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной $z$ , которая является функцией $y$ . Решая его, находим $z\left(y\right)=\phi \left(y,C_{1} \right)$ .

В свою очередь, поскольку $\frac{dy}{dx} =z\left(y\right)$ , то $\frac{dy}{dx} =\phi \left(y,C_{1} \right)$ . Полученное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, общее решение которого можно найти из выражения $\int \frac{dy}{\phi \left(y,C_{1} \right)} =x+C_{2}$ .

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=f\left(y,y'\right)$ может быть представлен в следующем виде:

переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$ , формально заменив $y''$ на $z\cdot z'$ , а $y'$ -- на $z$ ;
полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
найденное решение $z=\phi \left(y,C_{1} \right)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $\frac{dy}{dx} =\phi \left(y,C_{1} \right)$ , которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными;
находим интеграл $I=\int \frac{dy}{\phi \left(y,C_{1} \right)}$ и получаем общее решение в виде $I=x+C_{2}$ .