Дифференциальные уравнения второго порядка, в которых правая часть не зависит от неизвестной функции и её производной
Таким дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида $y''=f\left(x\right)$. В нем правая часть не зависит от неизвестной функции $y$ и её производной $y'$, а зависит только от $x$. Решается это уравнение последовательным интегрированием.
Представим его в таком виде: $\frac{d}{dx} \left(y'\right)=f\left(x\right)$, откуда $d\left(y'\right)=f\left(x\right)\cdot dx$.
Интегрируем первый раз, используя то свойство, что неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: $\int d\left(y'\right) =\int f\left(x\right)\cdot dx $ или $y'=\int f\left(x\right)\cdot dx +C_{1} $, где $C_{1} $ -- произвольная постоянная.
Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка сведено теперь к дифференциальному уравнению первого порядка, которое можно представить в таком виде: $dy=\left(\int f\left(x\right)\cdot dx +C_{1} \right)\cdot dx$.
Интегрируем полученное дифференциальное уравнение повторно: $y=\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx +C_{1} \right)\cdot dx =\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx \right)\cdot dx +\int C_{1} \cdot dx$. Окончательно получаем:$y=\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx \right)\cdot dx +C_{1} \cdot x+C_{2} $, где $C_{2} $ -- произвольная постоянная.
Процесс интегрирования завершен. Получена неизвестная функция $y$, которая является общим решением данного дифференциального уравнения второго порядка.
Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=f\left(x\right)$ может быть представлен в следующем виде:
- находим интеграл $I_{1} \left(x\right)=\int f\left(x\right)\cdot dx $ и записываем первую производную искомой функции в виде $y'\left(x,C_{1} \right)=I_{1} \left(x\right)+C_{1} $;
- находим интеграл $I_{2} \left(x\right)=\int I_{1} \left(x\right)\cdot dx $ и записываем окончательно общее решение данного дифференциального уравнения: $y=I_{2} \left(x\right)+C_{1} \cdot x+C_{2} $;
- для поиска частного решения начальные условия подставляем в выражение для первой производной $y'$, а также в общее решение; в результате находим значения произвольных постоянных $C_{1} $ и $C_{2} $.
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y''=4$. Записать также его частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям $y=1$ при $x=1$, $y'=1$ при $x=1$.
В данном дифференциальном уравнении правая часть не зависит ни от неизвестной функции $y$, ни от её производной $y'$. Следовательно, оно решается последовательным интегрированием два раза подряд.
Находим интеграл $I_{1} \left(x\right)=\int f\left(x\right)\cdot dx =\int 4\cdot dx =4\cdot x$. Записываем выражение для первой производной в виде $y'\left(x,C_{1} \right)=I_{1} \left(x\right)+C_{1} $, то есть $y'=4\cdot x+C_{1} $.
Находим интеграл $I_{2} \left(x\right)=\int I_{1} \left(x\right)\cdot dx =\int 4\cdot x\cdot dx =2\cdot x^{2} $. Записываем окончательно общее решение в виде $y=I_{2} \left(x\right)+C_{1} \cdot x+C_{2} $. Получаем: $y=2\cdot x^{2} +C_{1} \cdot x+C_{2} $.
Ищем частное решение. Подставляем начальное условие $y'=1$ при $x=1$ в выражение для $y'$: $1=4\cdot 1+C_{1} $, откуда $C_{1} =-3$. Подставляем начальное условие $y=1$ при $x=1$ в выражение для $y$: $1=2\cdot 1^{2} +\left(-3\right)\cdot 1+C_{2} $, откуда $C_{2} =2$. Таким образом, частное решение имеет вид: $y=2\cdot x^{2} -3\cdot x+2$.
Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие неизвестной функции
Указанные дифференциальные уравнения второго порядка допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.
Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее неизвестной функции $y$, имеет вид $y''=f\left(x,y'\right)$.
Для его решения применяют замену $y'=z\left(x\right)$.
При этом $y''=z'\left(x\right)$. После подстановки данное дифференциальное уравнение приобретает вид дифференциального уравнения первого порядка относительно $z$, то есть $z'=f\left(x,z\right)$. Решая его, находим $z\left(x\right)=\phi \left(x,C_{1} \right)$.
В свою очередь, поскольку $y'=z\left(x\right)$, то $y'=\phi \left(x,C_{1} \right)$. Это также дифференциальное уравнение первого порядка, которое допускает непосредственное интегрирование. Следовательно, интегрируя еще раз, окончательно получаем общее решение $y=\int \phi \left(x,C_{1} \right)\cdot dx +C_{2} $.
Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=f\left(x,y'\right)$ может быть представлен в следующем виде:
- переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $z'$, а $y'$ -- на $z$;
- полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
- найденное решение $z=\phi \left(x,C_{1} \right)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y'=\phi \left(x,C_{1} \right)$, которое допускает непосредственное интегрирование;
- находим интеграл $I=\int \phi \left(x,C_{1} \right)\cdot dx $ и получаем общее решение в виде $y=I+C_{2} $.
Найти общее решение дифференциального уравнения$y''-\frac{y'}{x} =3\cdot x$.
Данное дифференциальное уравнение не содержит неизвестной функции $y$, поэтому переписываем его в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $z'$, а $y'$ -- на $z$. Получаем: $z'-\frac{z}{x} =3\cdot x$.
Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным неоднородным, решая которое известным методом, получаем $z=\left(3\cdot x+C_{1} \right)\cdot x$.
Найденное решение представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y'=\phi \left(x,C_{1} \right)$, то есть $y'=\left(3\cdot x+C_{1} \right)\cdot x$. Это дифференциальное уравнение допускает непосредственное интегрирование.
Находим интеграл $I=\int \phi \left(x,C_{1} \right)\cdot dx =\int \left(3\cdot x+C_{1} \right)\cdot x\cdot dx =x^{3} +C_{1} \cdot \frac{x^{2} }{2} $ и получаем общее решение в виде $y=I+C_{2} =x^{3} +C_{1} \cdot \frac{x^{2} }{2} +C_{2} $. Это общее решение можно представить также в виде $y=x^{3} +C_{1} \cdot x^{2} +C_{2} $.
Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной
Указанные дифференциальные уравнения второго порядка также допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.
Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной $x$, имеет вид $y''=f\left(y,y'\right)$.
Для его решения применяют замену $y'=z\left(y\right)$.
Ищем вторую производную: $y''=\frac{d\left(y'\right)}{dx} =\frac{d\left(y'\right)}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} =\frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} =\frac{dz}{dy} \cdot z\left(y\right)$.
Подставляем выражения для $y'$ и $y''$ в данное дифференциальное уравнение: $z\cdot \frac{dz}{dy} =f\left(y,z\right)$. Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной $z$, которая является функцией $y$. Решая его, находим $z\left(y\right)=\phi \left(y,C_{1} \right)$.
В свою очередь, поскольку $\frac{dy}{dx} =z\left(y\right)$, то $\frac{dy}{dx} =\phi \left(y,C_{1} \right)$. Полученное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, общее решение которого можно найти из выражения $\int \frac{dy}{\phi \left(y,C_{1} \right)} =x+C_{2} $.
Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=f\left(y,y'\right)$ может быть представлен в следующем виде:
- переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $z\cdot z'$, а $y'$ -- на $z$;
- полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
- найденное решение $z=\phi \left(y,C_{1} \right)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $\frac{dy}{dx} =\phi \left(y,C_{1} \right)$, которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными;
- находим интеграл $I=\int \frac{dy}{\phi \left(y,C_{1} \right)} $ и получаем общее решение в виде $I=x+C_{2} $.
