Гипербола в математике – это множество всех точек на плоскости, для любой из которых абсолютная разность расстояния между двумя точками F1 и F2, называемыми фокусами, всегда равна одному и тому же значению и равна 2a.
Рисунок 1. Как выглядит гипербола: пример гиперболы
Свойства гиперболы
- Если точки F1 и F2 являются фокусами гиперболы, то касательная, проведённая через любую точку A, принадлежащую кривой, является биссектрисой угла F1AF2;
- Отношение расстояний от точки на гиперболе до фокуса и от этой же точки до директрисы – это константа, называемая эксцентриситетом ε;
- Гиперболе свойственна зеркальная симметричность относительно действительной и мнимой осей, а также вращательная к центру при повороте на 180°;
- Ограниченный действительными осями отрезок касательной, проведённой через точку M, делится пополам точкой M;
- У каждой гиперболы есть сопряжённая гипербола, которая располагается в незанятых четвертях графика.
Основные определения
- Ветви гиперболы – это две непересекающиеся кривые;
- Вершинами гиперболы называются две ближайшие точки на разных ветвях гиперболы;
- Формула для определения расстояния между вершинами гиперболы выглядит как 2⋅a;
- Большой действительной осью называется прямая, проложенная через две ближайшие точки на гиперболе. На половине этого расстояния расположен центр гиперболы;
- Полуосями гиперболы называется половина расстояния между вершинами гиперболы, формула для его определения 2⋅a/2=a;
- Мнимая ось – это прямая, проложенная через центр гиперболы и перпендикулярная действительной оси;
- Геометрическое построение гиперболы производится по заданным вершинам и фокусам с помощью циркуля.
Уравнение гиперболы
Общая формула гиперболы и функция гиперболы описывается следующим уравнением: x2a2−y2b2=1, где a,b - положительные действительные числа.
Уравнение вырожденной гиперболы выглядит как уравнение двух асимтот к гиперболе: xa−yb=0
Уравнение гиперболы со смещенным центром (x−x0)2a2−(y−y0)2b2=1, где x0,y0 - координаты центра гиперболы.
Для нахождения уравнения смещенной гиперболы по графику сначала определяют смещение центра относительно оси координат, оно равно координатам центра. Затем по асимтоптам определяют значения a и b.
Пример вывода формулы параметрического уравнения гиперболы в математике
Рассмотрим уравнение: 5x^2 – 4y^2 = 20
Для того чтобы привести его к каноничному виду, сначала разделим всё на 20:
\frac{5x^2}{20} - \frac{4y^2}{20} = 1
Теперь сократим числители и знаменатели: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
Для получения каноничной формы выразим в знаменателе квадрат:
\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{\sqrt(5)^2} = 1
