Функции с приставкой arc — это функции, обратные тригонометрическим. Например, для функции $sinα$ обратной функцией является её арксинус, записывается как $arcsinα$, а для функции косинуса обратной будет функция арккосинус, записывается как $arccosα$. Проще говоря, обратные тригонометрическим функции с приставкой $arc$ являются множеством значений углов $α$, от которых берётся какая-либо обычная тригонометрическая функция, также иногда функции с приставкой $arc$ используют как меру длины дуги, ограничивающей угол $α$.
Рисунок 1. Единичная окружность. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим теперь непосредственно определения для функций арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс по отдельности.
Арксинус числа
Арксинус числа $x$ — это множество значений углов, для которых $sinα = x$. Также определение арксинуса можно записать так: $arcsin(x) = α$.
Рассмотрим рисунок 1, на котором изображена окружность с радиусом, равным единице. Как мы помним, $sinα$ — это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, численно он равен длине стороны $AC$. Так как арксинус его обратная функция и есть не что иное как угол, от которого берётся синус, свойства арксинуса очень похожи на свойства синуса:
- Область определения функции арксинуса $D(y)= \ [-1;1\ ]$, для синуса $D(y)=\ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$;
- Область значения для арксинуса $E = \ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$, для синуса $E = \ [-1;1\ ]$
- Функции синуса и арксинуса обе возрастающие;
- Функции арксинуса и синуса обе нечётные, то есть: $arcsin(-x)= -arcsinx$;
- Функция $y=arcsin(x)$ равна нулю при $x=0$.
График арксинуса выглядит следующим образом:
Рисунок 2. График арксинуса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Арккосинус числа
Арккосинус числа $x$ — это множество значений углов, для которых $cosα = x$, то есть это значение угла.
Свойства арккосинуса в сравнении с косинусом:
- Область определения функции арккосинуса $D(y)= \ [-1;1\ ]$, для косинуса $D(y)=\ [0; π\ ]$;
- Область значения для арккосинуса $E = \ [0; π\ ]$, для косинуса $E = \ [-1;1\ ]$;
- График функции арккосинуса симметричен относительно точки $(0; \frac{ π}{2})$, следовательно, он не является ни чётным, ни нечётным, в отличии от функции косинуса, которая является чётной;
- График функции арккосинуса $y= arccos(x)$ является убывающим, это происходит на всей его области определения, так же, как и c графиком косинуса.
- Функция $y=arccos(x)$ равна нулю при $x=1$.
Рисунок 3. График арккосинуса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Арктангенс числа
Арктангенс числа $x$ — это множество значений углов, для которых $tgα = x$.
Свойства арктангенса:
- $D(y)= \ [-\infty;1\ ]$;
- $E = \ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$;
- Данная функция нечётная;
- Функция $y= arctgx$ возрастающая на всей области определения;
- Функция $y= arctgx$ равна нулю при $x=0$.
Рисунок 4. График арктангенса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Арккотангенс
Арккотангенс числа $x$ — это множество значений углов, для которых $ctgα = x$.
Свойства функции арккотангенса:
- $D(y)= \ [-\infty;1\ ]$;
- $E = \ [0; π\ ]$;
- Данная функция не является ни чётной, ни нечётной;
- Функция $y= arcсtgx$ убывает на всей области определения;
Рисунок 5. График арккотангенса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Найдите значение следующих выражений: $arcsin(\frac{1}{2}), arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}), arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}), arccos(-\frac{1}{2})$.
Решение:
$arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}$
$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{π}{4}$
$arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{π}{4}$
Здесь мы имеем арккосинус отрицательного числа $arccos(-\frac{-1}{2})$, для того чтобы его вычислить, необходимо прибегнуть к следующей формуле: $arccos(-α) = π – arccos(α)$
$arccos(-\frac{-1}{2}) = π – arccos(\frac{-1}{2}) = π – \frac{π}{3} = \frac{2π}{3}$
