Апагогическое доказательство
Виды косвенного доказательства – это варианты доказательства тезиса, при которых его справедливость устанавливается путем определения истинности связанного с ним другого тезиса (такого, что из истинности или ложности этого связанного тезиса однозначно следует ложность или истинность исходного тезиса).
Косвенные доказательства отличаются от прямых тем, что доказательство производится как бы окольным путем. Вместо отыскания аргументов, позволяющих вывести доказываемое положение напрямую, используют доказательство иного тезиса.
Различия между прямыми и косвенными доказательствами относительны: возможно осуществить переход от одного вида доказательств к другому.
Выделяют следующие основные виды косвенных доказательств:
- апагогическое,
- разделительное.
Слово «апагогический» происходит от греческого apagogos, что переводится как «уводящий в сторону». Апагогическое доказательство также называют доказательством от противного.
Апагогическое доказательство – это доказательство, состоящее в том, что сначала доказывают антитезис (тезис, противоречащий исходному), причем антитезис доводят до противоречия с установленной истиной (или до абсурда), после чего из ложности антитезиса делают вывод об истинности исходного тезиса.
Доказательство от противного часто используется в математике и в повседневной жизни (в бытовых рассуждениях). В основе этого способа доказательства лежит истинность закона двойного отрицания, определенного в классической логике.
Формализованная схема доказательства утверждения А апагогическим способов строится следующим образом. Сначала предполагается, что А неверно. Затем доказывают, что, если А неверно, должно быть верным некоторое другое утверждение (обозначаемое В), заведомо являющееся неверным. По определению импликации при ложном В формула «из не-А следует В» может быть истинной только при ложном не-А. Из этого можно сделать вывод об истинности А. Полученное противоречие показывает ошибочность исходного предположения, т.к. утверждение не-А истинно, а по закону двойного отрицания оно равносильно А.
Проиллюстрируем способ доказательства от противного:
- доказывается тезис: «Окружность не является квадратом». Для этого выдвигают антитезис: «Окружность является квадратом». Нужно доказать ложность этого утверждения, для чего из него выводятся следствия. Достаточно, чтобы хотя бы одно оказалось ложным – это будет означать ложность и утверждения, из которого выводится следствие. В частности, неверным будет следствие: «У окружности четыре угла». Итак, антитезис ложный, следовательно, исходный тезис о том, что окружность не является квадратом, истинный;
- доказывается тезис: «Ребенок не простужен». Предположим, что ребенок простужен. Тогда у него должны наблюдаться симптомы простуды (насморк, боль в горле, повышенная температура и т.д.), однако никаких симптомов не наблюдается. Следовательно, предположение о простуде ложно, и истинным является тезис о том, что он не простужен.
Разделительное доказательство
Суть разделительного доказательства состоит в том, что методом исключения из нескольких тезисов производится доказательства одного (такого, что это автоматически исключает остальные варианты). Например, известно, что преступление было совершено одним из трех лиц: А, Б и В. При этом преступление не мог совершить никто иной. Преступление было совершено только одним человеком (в нем не могут быть задействованы сразу несколько лиц). Если последовательно доказать, что ни А, ни В не совершали преступления, можно считать доказанным, что преступление совершил Б.
Для использования разделительного доказательства важно обеспечить полный охват вариантов, исчерпывающий перечень альтернатив (полноту, закрытость дизъюнкции). Так, если в приведенном примере преступление мог совершить еще и Д, которого не приняли в рассмотрение, обвинение Б на основании непричастности А и В будет несостоятельным.
Итак, при использовании разделительных доказательств основная сложность (порождающая типичные ошибки) – составление перечня альтернатив таким образом, чтобы выполнялось два условия:
- перечисленные альтернативы должны исчерпывать все возможности;
- альтернативы должны быть несовместимыми.
Так, например, нужно доказать, что одна величина равна другой. В таком случае можно рассмотреть альтернативы:
- первая величина больше второй;
- вторая величина больше первой.
Очевидно, что не может одновременно выполняться две и более альтернатив. Если отброшены оба альтернативных варианта, остается только исходный тезис – величины равны. Но в бытовых ситуациях такая однозначность встречается достаточно редко.
Пусть исходный тезис: «В пироге начинка из яблок». Альтернатив достаточно много – начинка может быть из мяса, картошки, груши, вишни и т.д. Сложно обеспечить перечисление всех возможных начинок, но даже если это удастся, нет гарантии, что начинка не будет комбинированной (включать одновременно яблоки и вишню). В таком случае разделительное доказательство неприменимо. Отсюда можно сделать вывод, что разделительное доказательство не может считаться универсальным инструментом; его сфера применения ограничена.
Нет сомнений, что косвенные доказательства представляют собой эффективное средство обоснования. Однако имея с ним дело, все время приходится сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, выводят следствия до тех пор, пока не придут к утверждению, ошибочность которого несомненна.
Косвенное доказательство — хорошее орудие исследования, но не всегда оно является удачным приемом изложения материала. Неслучайно в практике преподавания нередок такой парадоксальный совет: после того как косвенное доказательство проведено, ход его полезно тут же забыть, оставив в памяти только доказанное положение.
