Символическая логика

Понятие символической логики

Впервые термин «символическая логика» был использован английским логиком Дж. Венном в 1881 году для обозначения нового этапа развития науки логики. В настоящее время широко применяется термин, синонимичный «символической логике» - «математическая логика». Строго говоря, понятие символической логики шире, чем математической, поскольку математическая логика подразумевает изучение только используемых математиками логических рассуждений.

Символическую логику обычно рассматривают как ступень развития формальной логики, следующую за традиционной логикой. Характерные черты символической логики:

• применение математических методов и специального аппарата символов;
• исследование мышления на основе исчислений.

Благодаря этим чертам появляется возможность избежать двусмысленностей и логических неясностей, присущих естественным языкам, на основе которых строилась традиционная логика, как наука о правильном мышлении, возникшая в рамках философии. Новые методы позволили логике обрести ряд преимуществ:

• высокую точность формулировок,
• возможность изучать более сложные объекты (с точки зрения логических форм).

Многие проблемы, которые исследуются в символической логике, с использованием исключительно традиционных методов сформулировать было невозможно. Применять в логике математические методы стало возможно благодаря тому, что суждения стали формулироваться на точном языке. У таких точных формализованных языков есть две составляющие:

• синтаксис – совокупность правил, по которым строятся объекты языка (формулы),
• семантика – совокупность соглашений, которые описывают понимание формул (или части их) и позволяют делить формулы на верные и неверные.

История символической логики

Уже в Древней Греции для обозначения переменных стали использовать буквенные обозначения – в частности, так делал Аристотель. В XVII веке Г.В. Лейбниц выдвинул идею о построении для всей математики универсального языка, позволяющего формализовать математические доказательства и вообще любые рассуждения. Однако несоответствие существующей логической парадигмы (аристотелевской силлогистики) требованиям развивающейся науки стало очевидным только к середине XIX века. Благодаря значительным успехам абстрактной алгебры (в первую очередь, теории групп) появилась возможность переноса алгебраических методов на другие научные области. Именно это сделала английская школа, основанная А. де Морганом (в честь него названы законы де Моргана, им сформулированные; кроме того, он разработал теорию отношений и определил понятие математической индукции).

Серьезным шагом в становлении формальной логики стали труды Дж. Буля. Дж. Буль, как и де Морган, признал чисто абстрактную сущность алгебры. Он заметил, что простейшие операции над множествами подчиняются законам:

• коммутативности,
• ассоциативности,
• дистрибутивности.

Подлинным началом алгебры логики стали проведенные параллели:

• между сложением и объединением,
• между умножением и пересечением,
• между нулем и пустым классом,
• между единицей и универсальным классом.

Завершился первый этап развития алгебры логики трудом Э. Шредера.

Еще одну веху развития символической логики ознаменовали работы Г. Фреге и Ч.С. Пирса, которые ввели предикаты, кванторы и предметные переменные в язык алгебры логики. Это позволило построить систему логики как логическое исчисление. Фреге попытался реализовать идеи Лейбница, для чего разработал символическую запись. Хотя сейчас его нотация уже не используется (например, в ней формулы рисовались как двумерное дерево), именно ему принадлежит заслуга изобретения исчисления предикатов.

Исчисление предикатов – это формальная система, включающая две части:

• символический язык,
• логику предикатов.

Кроме того, Фреге сформулировал четкое определение термина «доказательства», общепринятое по сей день.

Современную логическую символику разработал итальянский математик Дж. Пеано. Он, как и Фреге, занимался исследованием оснований математики и развитием формально-логического языка. После частичной модификации логической записи Пеано в употребление вошли следующие логические знаки:

• отрицание: ¬
• конъюнкция: &
• дизъюнкция: ∨
• импликация: ⊃
• квантор всеобщности: ∀
• квантор существования: ∃

Благодаря созданию такого искусственного языка, а затем с помощью него логических исчислений, строго формализующих различные теории как некоторый конечный список аксиом и правил вывода, к XIX веку в науке возникла потребность в целостной символической логике. В первую очередь требования исходили со стороны математики, которая ставила проблемы, нерешаемые средствами традиционной логики. В качестве примера такой проблемы можно привести недоказуемость пятого постулата Евклида на основе остальных аксиом и постулатов его геометрии. Только развитие символической логики дало аппарат решения проблемы независимости аксиом с помощью чисто логических средств.

В начале XX века ведущим драйвером развития символической логики стала проблема оснований математики.

К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Таким образом, вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 году Рассел выявил ряд парадоксов теории множеств, вследствие чего возникло четыре направления в основаниях математики:

• логицизм,
• интуиционизм,
• теоретико-множественный платонизм,
• формализм.

Специфика символической логики состоит в том, что она является рефлексивной наукой. Это значит, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры.