Прямое и косвенное доказательство

Общая характеристика доказательств

Как правило, доказательство состоит из последовательности шагов. Нужно уметь пройти каждый шаг доказательства, иначе связи между его частями разрушатся, и оно все развалится, как домик из карт. Крайне важно воспринять доказательство как единую конструкцию, в целом. Если доказательство не будет понято как целостная система, оно не сможет ни в чем убедить. Даже будучи выученным наизусть по предложениям, оно не добавит ничего нового к знанию о предмете. Следить за доказательством, формально контролируя правильность каждого из его шагов подобно наблюдению за игрой в шахматы, при котором замечают только то, что каждый ход игроков выполнен по правилам.

Минимальным требованием к восприятию доказательства является понимание логического выведения как целенаправленной процедуры. Только так можно достичь интуитивной ясности действий. То, что формирует «единство доказательства», может быть представлено в виде общей схемы, которая охватывает ключевые шаги доказательства, воплощает в себе его итоговую структуру или принцип. Когда подробности забываются, такая схема остается в памяти.

В зависимости от того, как идет общее движение мысли, все доказательства бывают двух типов:

• прямые,
• косвенные.

Прямое доказательство

Построение прямого доказательства состоит из двух связанных этапов:

• отыскание утверждений, признанных обоснованными и пригодных для использования в роли убедительных аргументов по доказываемому положению;
• установление логических связей между выбранными утверждениями и тезисом.

Первый этап часто рассматривают как подготовительный, а в качестве собственно доказательства указывают только дедукцию, связывающую доказываемый тезис с подобранными аргументами.

Несколько тривиальным и притом нелогическим, но играющим большую роль в познании видом доказательства является обоснование высказывания путем непосредственного обращения к фактам. В этом случае достаточным основанием для признания истинности некоторого суждения служат соответствующим образом проверенные показания органов чувств.

Также тривиальным, но уже имеющим логический характер, является доказательство аналитически истинных высказываний. В данном случае доказательство состоит просто в извлечении необходимой информации из соответствующего определения.

Косвенное доказательство

Пусть А – некоторый тезис, тогда антитезисом будет его отрицание не-А (т. е. суждение, противоречащее тезису).

Одним из видов косвенного доказательства является апагогическое доказательство, также называемое доказательством «от противного». Его осуществляют, устанавливая ложность суждения, противоречащего тезису. Доказательство «от противного» широко применяется в математике.

Пусть надо доказать тезис (или теорему) А. Предположим от противного, что тезис А ложен, а тезис не-А, соответственно, истинен. Из этого допущения выводятся следствия, противоречащие ранее известным суждениям (теоремам, аксиомам) или действительности. Из этого делается вывод, что тезис не-А ложен – значит, должно быть истинным его отрицание, не-не-А, что по закону классической двузначной логики равнозначно А. Итак, А истинно, что и требовалось доказать изначально.

В школьном курсе математики доказательство от противного используется, например, для обоснования теоремы: «Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны». Сначала предполагается противное, т.е. факт, что рассматриваемые прямые не параллельны. Тогда они должны пересекаться, образуя таким образом треугольник (третья сторона соединяет точки пересечения прямых и плоскости). В этом треугольнике будет два внутренних прямых угла (т.к. по условию обе прямые перпендикулярны плоскости). Сумма углов такого треугольника превышает 180 градусов. Возникает противоречие с доказанной ранее теоремой о том, что в любом треугольнике сумма внутренних углов составляет 180 градусов. Из этого делается вывод о ложности предположения (в части факта непараллельности рассматриваемых прямых). По закону исключенного третьего можно считать доказанным, что прямые параллельны.

Еще один вид косвенного доказательства – разделительное доказательство (базирующееся на методе исключения). Антитезис в таком случае – это один из членов разделительного суждения. Важно, чтобы в суждении были перечислены все возможности (все реальные альтернативы).

Доказательство истинности тезиса производится следующим образом: последовательно доказывается ложность каждого члена разделительного суждения, за исключением одного. Оставшееся суждение считается доказано истинным.