Американский и австралийский семантические планы построения релевантной логики

Основные понятия релевантной логики

В 1908 году была опубликована статья Лейтзена Эгберта Яна Брауэра «О недостоверности логических принципов», положившая начало развитию неклассической логики. В этой статье молодой ученый из Голландии изложил свою критику основ классической математики. Эта критика стала фундаментальной для интуиционизма – нового направления философии математики. Неклассическая логика объединяет широкий спектр современных логических исследований, характеризующихся отказом от принципов классической логики. Впоследствии стало понятно, что эта точка стала поворотной для развития науки в целом.

Важно отметить роль, которая в новой исследовательской парадигме отводится релевантной логике. Изящный формализм, который первоначально предлагался для описания рассуждений абстрактных компьютеров в условиях неполной и противоречивой информации, превратился в методологическую основу моделирования аргументативных рассуждений и целого комплекса исследований современной философской логики.

Алгебраической структурой, соответствующей первоуровневой релевантной логике, является решетка Де Моргана, допускающая естественную интерпретацию.

Рассмотрим основные элементы пропозиционального (искусственного) языка и теоретико-множественные понятия, им соответствующие.

Пусть пропозициональным переменным p, q и т.д. поставлены в соответствие множества a, b и т. д. ситуаций, в которых эти высказывания истинны. Вполне логичным представляется продолжение аналогии для формул, когда конъюнктивной форме p&q ставится в соответствие множество ситуаций, образованное пересечением исходных множеств a и b (которые соответствуют формулам p и q). Дизъюнкции в таком случае ставится в соответствие объединение множеств.

Случай импликации менее тривиален. Каждое вхождение импликации может трактоваться как аналог отношения выводимости (логического следования). Соответственно, можно перейти к множеству следующим способом: «Множество ситуаций, в которых истинен антецедент, включается в множество ситуаций, в которых истинен консеквент».

Свойства дополнения, ассоциируемого с классическим отрицанием, могут быть охарактеризованы несколькими способами. Речь идет о множестве ситуаций, в которых истинным является отрицание формулы, множество ситуаций истинности которой представлено множеством а. Основное свойство любого дополнения – контрпозитивность в той или иной форме. Переход от алгебраической структуры, соответствующей классической логике, к «релевантной» структуре связан с изменением дополнения, с которым ассоциировано отрицание.

Австралийский план построения релевантной логики

Семантики системы FDE могут быть построены на основе нескольких альтернативных подходов. Современные исследователи выделяют два основных плана построения теоретико-множественных семантик:

• американский,
• австралийский.

Такое территориальное деление весьма условно – так, в частности, семантики американского плана встречаются не только в трудах американцев (Н. Белнапа, М. Данна), но и в исследованиях советского ученого Е. К. Войшвилло. Среди сторонников австралийского подхода можно указать австралийца Р. Роутли, американца Р. Майера и советского математика и логика Л. Л. Максимову.

Австралийская семантика строится на трехэлементной модели, включающей:

• множество возможных миров (обобщенных описаний состояния, ситуаций, теорий и т. д.),
• функцию интерпретации, которая ставит в соответствие парам «формула – возможный мир» строго один из элементов t и f (истина и ложь),
• одноместную функцию на множестве возможных миров такую, что двойное ее применение к переменной дает исходное значение этой переменной.

Чтобы доказать семантическую адекватность, необходимо показать ее непротиворечивость и полноту.

Доказательство непротиворечивости производится стандартным образом. Чтобы доказать полноту, используют стандартный для релевантной логики метод, позволяющий построить доказательства для всех известных систем релевантной логики с некоторыми усложнениями и дополнениями.

Краткая схема доказательства полноты: допускают, что некоторая формула языка системы FDE не теорема, стараются построить подходящую теорию, которой бы принадлежали все теоремы FDE кроме этой формулы. Далее определяют каноническую модель и в терминах принадлежности задают каноническую интерпретацию. При этом показывают, что каноническая модель – действительно модель для системы FDE. На финальном этапе доказательства обобщают все предыдущие построения, что позволяет показать необщезначимость произвольно нетеоремы FDE. По контрапозиции это дает полноту.

Американский план построения релевантной логики

Американская семантика для системы FDE может быть построена как в русле теоретико-множественного (крипкевского) подхода, так и в рамках семантик многозначных (матричных) логик. Примером семантики возможных миров для этой системы является информационная семантика Е. К. Войшвилло.

Интересным представляется взглянуть на релевантную логику как на многозначную. Такой подход был реализован Н. Белнапом в его известных работах о том, что такое логика для компьютера, и как он (компьютер) должен думать.

В основе семантики Н. Белнапа лежат четыре исходных значения 4 = {T, B ,N, F}, трактуемых весьма оригинально:

• T соответствует ситуации, когда формула оценивается как истинная и не оценивается как ложная;
• B означает случай, когда формуле одновременно приписаны значение «истинно» и значение «ложно»;
• N является выражением случая, когда формула вообще не имеет истинностного значения;
• F приписывается формуле, принявшей значение «ложно» и не принявшей значение «истинно».

Отрицание, в отличии от отрицания в классической логике, теперь обладает неподвижной точкой.

Другой интересный вариант интерпретации истинностных значений в релевантной логике связан с их трактовкой как tf-последовательностей.