Предмет и задачи математической статистики

Лекция 10. Элементы математической статистики 1. Предмет и задачи математической статистики. Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. При этом теория вероятностей выводит из математической модели свойства реального процесса, а математическая статистика устанавливает свойства математической модели исходя из данных наблюдений. Предметом математической статистики является изучение случайных величин, событий, процессов по результатам наблюдений. Задачи: 1. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные обработать, упорядочить, представить в удобном для анализа виде. 2. Оценить, хотя бы приблизительно, характеристики наблюдаемой случайной величины. 3. Проверить статистические гипотезы, т.е. решить вопрос согласования теоретических результатов с опытными данными. 2. Генеральная совокупность. Вариационные ряды. Статистические ряды. Определение. Объектом наблюдения называется совокупность предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Определение. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, подлежащих изучению или результатов наблюдений каждому из которых соответствует определенное значение числовой характеристики (стандартность, размер и т.д.). Определение. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности. Определение. Объемом называется число объектов в генеральной или выборочной совокупности. Обозначается: N – объем генеральной совокупности, n – объем выборочной совокупности. Определение. Повторной называется выборка, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Определение. Бесповторной называется выборка, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Выборка должна быть репрезентативной (или представительной), т.е. достаточно полно представлять изучаемые признаки генеральной совокупности. Условием репрезентативности является соблюдение случайности отбора. Способы отбора. 1. Простой – извлекают по одному объекту (например, по признаку пола, возраста и т.д.). 2. Типический – генеральную совокупность делят на части, и отбор ведется из каждой части. 3. Механический – отбор ведется через определенный интервал (например, из партии консерв вынимают каждую шестую). 4. Серийный – отбор ведется не по одному, а сериями. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 k раз, х2 наблюдалось n2 раз, ….., хk наблюдалось nk раз (  ni  n – объем выборки). i 1 Определение. Элементы х1, х2,…., хk , попавшие в выборку, называются вариантами. Определение. Числа n1, n2,…., nk , показывающие сколько раз встречаются варианты, называются частотами. Определение. Расположение вариантов в возрастающем порядке, называется ранжированием, а полученная последовательность вариационным рядом. Определение. Отношение частоты того или иного варианта к сумме всех частот ряда, называется относительной частотой. i  k ni ni , , где n  n i 1  k  i  1 i 1 Определение. Перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот, называется статистическим рядом или статистическим распределением. Статистический ряд может быть дискретным и интервальным. Статистический ряд называется дискретным, если варианты отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (целое число). Дискретный ряд записывается в виде таблицы. Первая строка содержит варианты, а вторая их частоты ni или относительные частоты i . Пример 1. В результате тестирования группа абитуриентов набрала баллы: 5,3,0,1,4,2,5,4,1,5. Записать полученную выборку в виде 1) вариационного ряда; 2) статистического ряда. 1) Проранжируем данный ряд 0,1,1,2,3,4,4,5,5,5 полученный ряд является вариационным 2) Составляем статистический ряд, который будет дискретным 1 2 3 4 5 xi 1 ni n 2 1 1 2 3 6  ni  10 i 1 или посчитав относительные частоты, получим ряд 1 2 3 4 xi i 0,1 0,2 0,1 0,1 0,2 5 0,3 где 1  1 / 10 , 2  2 / 10 , 3  1/ 10 , 4  1/ 10 , 5  2 / 10 , 6  3 / 10 6  i  0,1  0,2  0,1  0,1  0,2  0,3  1 i 1 Если число значений признака велико или признак является непрерывным, составляют интервальный статистический ряд. Т.к. перечислить все возможные варианты и их частоты в этом случае не возможно. Поэтому группируем их в интервалы, с определенными границами. Чтобы составить интервальный статистический ряд нужно найти количество интервалов, величину интервала и начальное значение первого интервала. Для определения величины интервала используют формулу Стерджеса: x  xmin h  max , k где xmax - наибольшее значение признака; xmin - наименьшее значение признака. k  1 3,322 lg n - количество интервалов: h . 2 Пример 2. Измерили рост (с точностью до сантиметра) 30 наудачу отобранных студентов. Результаты: 178, 160,154, 183,155,153,167,186,163,155,157,175,170,166,159,173, 182,167,171,169,179,165,156,179,158,171,175,173,167,172. Составить интервальный статистический ряд. Х – случайная непрерывная величина – рост студента. Проранжируем ряд 153,154,155,155,156,157,158,159,160,163,164,165,166,167,167,169,170,171,171,172,173,173, 175,175,178,179,179,182,183,186. n=30 Найдем количество интервалов, величину интервала, начальное значение первого интервала k  1  3,322 lg 30  6 Начальное значение первого интервала: xнач  xmin  Соответственно Соответственно 186  153 33   55,5  6 6 6 6 xнач  153   150 2 [150;156) [156;162) xi h [162;168) [168;174) [174;180) [180;186) ni 4 5 6 7 5 3 i 4/30=0,13 5/30=0,17 6/30=0,2 7/30=0,23 5/30=0,17 3/30=0,10 6 i  0,13  0,17  0,2  0,23  0,17  0,1  1 i 1 3. Эмпирическая функция распределения. Эмпирическая функция распределения это один из способов обработки статистич еского ряда. Определение. Эмпирической функцией распределения F  (x) называется относительная частота того, что величина Х примет значение, меньше заданного х, т.е. F  ( x)  i  X  x  Для нахождения значений F  (x) используют следующую формулу nx , n где n – объем выборки; n x – число вариант меньше чем х. F  ( x)  Свойства эмпирической функции распределения  1. Значения F (x) принадлежат отрезку [0;1]; 2. F  (x) – неубывающая; 3. Если x1 – наименьший вариант, то для любых x  x1 F  ( x)  0 , если xk – наибольший вариант, то для любых x  xk F  ( x)  1 . Пример 3. Найти эмпирическую функцию распределения по данному ряду 1 4 6 xi ni 10 15 25 n =50 1) x  1 F  ( x)  0 10 1  50 5 25 1  3) 4  x  6 F  ( x)  50 2 50 F  ( x)  1 4) x  6 50 Запишем эмпирическую функцию распределения 0, x  1 1 / 5, 1  x  4   F ( x)   1 / 2, 4  x  6 1, x  6 2) 1  x  4 F  ( x)  4. Графическое изображение статистического ряда. Статистическое распределение изображается графически в виде полигона и гистограммы. Полигон служит для изображения дискретного статистического ряда. Полигон частот – ломаная, отрезки, которой соединяют точки с координатами ( x1 , n1 ) , ( x2 , n2 ) ,….., ( xk , nk ) . Т.е. по оси абсцисс откладывают варианты xi по оси ординат – частоты ni . Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами ( x1 , 1 ) , ( x2 , 2 ) ,….., ( xk , k ) . Т.е. по оси абсцисс откладывают варианты xi по оси ординат – относительные частоты i . Гистограмма служит для изображения интервальных статистических рядов. Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, осноn ваниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны отношению i h – плотность частоты. Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями, которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны отношению i – плотность относительной частоты. h Пример 3. Дан дискретный статистический ряд. Построить полигон относительных частот. 1,5 3,5 5,5 7,5 xi i 0,1 0,2 0,4 0,3 i 1 0,5 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 xi Пример 4. Дан интервальный статистический ряд xi [5;10) [10;15) [15;20) [20;25) [25;30) [30;35) [35;40) ni 4 6 16 36 24 10 4 Построить гистограмму частот. Чтобы построить гистограмму частот нужно найти плотность частоты ni . h Величину интервала можно найти по формуле Стерджеса или непосредственно из таблицы (10-5=5; 15-10=5 и т.д.), соответственно h  5 . Составляем таблицу [5;10) [10;15) xi i 4/5=0,8 [15;20) 6/5=1,2 16/5=3,2 [20;25) [25;30) 36/5=7,2 24/5=4,8 [30;35) [35;40) 10/5=2 4/5=0,8 Строим гистограмму ni h 7 6 5 4 3 2 1 5 10 15 20 25 30 35 40 xi 5. Числовые характеристики статистического распределения Пусть статистическое распределение выборки объемом n имеет вид …… x1 x2 xk xi x3 ni n1 n2 n2 …… nk Определение. Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки. Обозначается: x B , x , M  (X ) , m x . k  1 1 xi ni или x B  Выборочное среднее находится по формуле: x B  n n i 1 k  xii , i 1 ni - частость вариантов. n Замечание. В случае интервального статистического ряда в качестве xi берут середины где i  интервалов, а ni - соответствующие им частоты. Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней x B . Обозначается: DB . Выборочная дисперсия находится по формуле: DB  DB  k   xi  xB 2 i , где i  i 1 1 n k   xi  xB 2 ni или i 1 ni . n Определение. Выборочное среднее квадратическое отклонение выборки определяется по формуле  B  DB Определение. Размахом вариации называется число R  xmax  xmin , где xmax - наибольший вариант, xmin - наименьший вариант. Определение. Модой M o вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту. Определение. Медианой M e вариационного ряда называется значение варианта приходящегося на середину ряда. Если n – четное число, то M e  xk  xk 1 , если n – нечетное число, то M e равна середин2 ному варианту. Пример 5. Для данных примера 1 найти характеристики выборки – результаты тестирования 10 абитуриентов. xi 1 2 3 4 5 ni 1 2 1 1 2 3 i 0,1 0,2 0,1 0,1 0,2 0,3 n=10 1 0  1  1  2  2  1  3  1  4  2  5  3  3 10 1 (0  3) 2 1  (1  3) 2  2  (2  3) 2 1  (3  3) 2 1  (4  3) 2  2  (5  3) 2  3  3,2 2) DB  10 1) xB    3)  B  3,2  1,79 4) R  5  0  5 5) M o  5 3 4  3,5 2 n=10 – четное число, то серединные варианты – x5  3 (5-ое значение), x6  4 (6-ое зна- 6) M e  чение).