Историческим фактом является то, что лозунгом пифагорейцев было выражение: «Все есть число», которым подчеркивалась важная роль чисел в практической деятельности человека. В повседневной жизни каждый из нас сталкивается с множеством чисел, это и номера автомобилей, телефонов, и цены в магазинах, и размер семейного бюджета и т.п. Числа и цифры окружают нас повсюду.
Люди во все времена вели счет и записывали числа, даже в древности. Но записывали они их несколько иначе, чем мы сейчас, по другим правилам. Числа были представлены одним или несколькими символами, которые назвали цифрами.
Цифра – это символ, используемый при записи числа.
Изначально числа соответствовали тем предметам, которые пересчитывали. Но с появлением письменности их отделили от предметов, и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились тогда, когда у людей стали возникать потребности в измерениях, и единицы измерения (эталоны) не всегда укладывались целое число раз в измеряемые величины. Исторически понятие числа, как правило, связывают с развитием математики, в настоящее же время оно считается фундаментальным понятием не только математики, но еще и информатики.
Число – это некоторая величина.
Числа складываются из цифр по особым правилам. Разные народы на разных этапах развития человечества устанавливали эти правила. В настоящее время их называют системами счисления.
Система счисления – это совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков.
Аддитивные и мультипликативные системы счисления
Система счисления – понятие сложное, включающее в себя законы, по которым читаются и записываются числа, и по которым выполняются действия над ними. Для этого важно знать тип системы счисления. По типу различают аддитивную и мультипликативную системы счисления.
Для аддитивной характерно то, что каждая цифра имеет свое значение, для прочтения числа необходимо сложить все значения используемых цифр. Например:
$XXXXVI = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 46$
Для второго типа характерно то, что цифра может иметь различные значения в зависимости от ее местоположения в числе.
Рисунок 1.
(иероглифы по порядку: $2$, $1000$, $4$, $100$, $2$, $10$, $5$)
В этой записи два раза используется иероглиф $«2»$, и в каждом случае он принимает разные значения $«2000»$ и $«20»$.
$2\cdot 1000 + 4\cdot 100 + 2\cdot 10 + 5 = 2425$
Для аддитивной («добавительной») системы необходимо знать все цифры-символы и их значения (их бывает до 4-5 десятков), а также порядок записи. Например, в латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение:
$IV = 5–1 = 4$
$VI = 5+1 = 6.$
Позиционные и непозиционные системы счисления
Все известные системы счисления делятся на:
-
позиционные;
-
непозиционные.
Непозиционные системы счисления появились задолго до позиционных. Последние являются, в свою очередь, результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
В непозиционных системах вес цифры не зависит от ее позиционирования в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе $XXI$ (двадцать один) вес цифры $X$ в обеих позициях равен $10$.
Отличительным признаком непозиционной системы счисления является отсутствие в ней цифры $0$. При разработке правил выполнения арифметических действий с числами возникла необходимость введения символа $«0»$, который впоследствии стал иметь большое значение при совершенствовании способов представления чисел. Именно с появлением $0$ в наборе символов, являющихся цифрами, и связывают возникновение позиционных систем счисления, в которых вес каждой цифры соответствует занимаемой ею позиции в последовательности цифр, изображающих число.
Например, запись $56$ означает, что это число можно составить из $6$ единиц и $5$ десятков. Если поменять позиции цифр, можно получить другое число – $65$, содержащее $6$ десятков и $5$ единиц. Вес цифры $5$ уменьшился в $10$ раз, а вес цифры $6$ в $10$ раз вырос.
В любой позиционной системе счисления число представляется как многочлен. Например, представим десятичное число $4367$ в виде многочлена:
$4367 = 4000 + 300 + 60 + 7 = 4\cdot 103 + 3\cdot 102 + 6\cdot 101 + 7\cdot 100$,
где $10$ – основание десятичной системы.
Важной характеристикой любой позиционной системы является ее основание, которое представляет собой количество разных знаков либо символов, использующихся в изображении цифр в данной системе. Основание системы используется для описания ее количественных характеристик.
Позиционные системы счисления бывают:
-
двоичные (имеют в основании две цифры $0$ и $1$);
-
восьмеричные (в основании цифры от $0$ до $7$);
-
десятичные (в основании цифры от $0$ до $9$);
-
шестнадцатеричные (в основании цифры от $0$ до $9$ и буквы $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$);
-
пятеричная (в основании цифры от $0$ до $4$, используется в Китае и в настоящее время);
-
двенадцатеричная (устаревшая, использовалась в начале $XX$ века).
На основе двоичной системы счисления построена работа всей вычислительной техники, поскольку цифра $0$ означает отсутствие сигнала, т.е. «выключено», а $1$ обозначает, что сигнал пошел, т.е. состояние «включено».
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления также используются в вычислительной технике (например, для организации передачи данных внутри компьютера).
Десятичная система счисления используется нами в повседневной жизни, это наша «арабская» система счета, в основании которой лежат цифры от $0$ до $9$.
История появления этих чисел достаточно запутана. Доподлинно известно, что они появились благодаря древним астрономам, а именно - их точным расчетам.
Как известно, в вавилонской системе счисления имелся знак, обозначающий пропущенный разряд. Во $II$ веке до н.э. с этими наблюдениями познакомились греческие астрономы. Они стали использовать данную систему счисления, однако целые числа изображали не клиньями, как вавилонцы, а в алфавитной нумерации (дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления). Нулевой разряд греческие астрономы изображали символом $«0»$ (первая буква греческого слова Ouden - ничто).
На рубеже $II$ и $VI$ веков н.э. индийские астрономы заимствовали у греческих шестидесятеричную систему и изображение круглого греческого нуля. Индийцы совместили принципы греческой нумерации с китайской десятичной мультипликативной системой. При этом они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми, что явилось завершающим этапом в создании десятичной системы счисления.
Превосходная работа индийских математиков была воспринята арабскими учеными, и Аль-Хорезми в $IX$ веке написал книгу «Индийское искусство счета», в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее очень популярной среди европейских купцов.
В $XII$ в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу «Индийское искусство счета», и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А поскольку работа Аль-Хорезми была написана на арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неверное название – «арабская». Сами же арабы называют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.
Написание «арабских» цифр со временем претерпевало изменения. Написание, используемое нами, установилось в $XVI$ веке.
Рисунок 2.
Достаточно широко раньше использовалась двенадцатеричная система счисления. Она произошла от счета на пальцах. Счет вели большим пальцем руки, используя фаланги других четырёх пальцев: всего их $12$.
Элементы данной системы используются и в наше время в Англии в системе мер ($1$ фут = $12$ дюймам) и в денежной системе ($1$ шиллинг = $12$ пенсам). Нередко встречаются в быту элементы двенадцатеричной системы счисления: чайные и столовые сервизы на $12$ персон.
Числа в английском языке от $1$ до $12$ имеют свое название, последующие числа являются составными:
Рисунок 3.
Для чисел от $13$ до $19$ - окончание слов - $teen$. Например, $15$ - $fiveteen$.
Основным достоинством позиционных систем счисления является возможность записи больших чисел посредством малого количества цифр, а также упрощение выполнения арифметических действий с числами.
