Историческим фактом является то, что лозунгом пифагорейцев было выражение: «Все есть число», которым подчеркивалась важная роль чисел в практической деятельности человека. В повседневной жизни каждый из нас сталкивается с множеством чисел, это и номера автомобилей, телефонов, и цены в магазинах, и размер семейного бюджета и т.п. Числа и цифры окружают нас повсюду.
Люди во все времена вели счет и записывали числа, даже в древности. Но записывали они их несколько иначе, чем мы сейчас, по другим правилам. Числа были представлены одним или несколькими символами, которые назвали цифрами.
Цифра – это символ, используемый при записи числа.
Изначально числа соответствовали тем предметам, которые пересчитывали. Но с появлением письменности их отделили от предметов, и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились тогда, когда у людей стали возникать потребности в измерениях, и единицы измерения (эталоны) не всегда укладывались целое число раз в измеряемые величины. Исторически понятие числа, как правило, связывают с развитием математики, в настоящее же время оно считается фундаментальным понятием не только математики, но еще и информатики.
Число – это некоторая величина.
Числа складываются из цифр по особым правилам. Разные народы на разных этапах развития человечества устанавливали эти правила. В настоящее время их называют системами счисления.
Система счисления – это совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков.
Аддитивные и мультипликативные системы счисления
Система счисления – понятие сложное, включающее в себя законы, по которым читаются и записываются числа, и по которым выполняются действия над ними. Для этого важно знать тип системы счисления. По типу различают аддитивную и мультипликативную системы счисления.
Для аддитивной характерно то, что каждая цифра имеет свое значение, для прочтения числа необходимо сложить все значения используемых цифр. Например:
XXXXVI=10+10+10+10+5+1=46
Для второго типа характерно то, что цифра может иметь различные значения в зависимости от ее местоположения в числе.
Рисунок 1.
(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)
В этой записи два раза используется иероглиф «2», и в каждом случае он принимает разные значения «2000» и «20».
2⋅1000+4⋅100+2⋅10+5=2425
Для аддитивной («добавительной») системы необходимо знать все цифры-символы и их значения (их бывает до 4-5 десятков), а также порядок записи. Например, в латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение:
IV = 5–1 = 4
VI = 5+1 = 6.
Позиционные и непозиционные системы счисления
Все известные системы счисления делятся на:
-
позиционные;
-
непозиционные.
Непозиционные системы счисления появились задолго до позиционных. Последние являются, в свою очередь, результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
В непозиционных системах вес цифры не зависит от ее позиционирования в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXI (двадцать один) вес цифры X в обеих позициях равен 10.
Отличительным признаком непозиционной системы счисления является отсутствие в ней цифры 0. При разработке правил выполнения арифметических действий с числами возникла необходимость введения символа «0», который впоследствии стал иметь большое значение при совершенствовании способов представления чисел. Именно с появлением 0 в наборе символов, являющихся цифрами, и связывают возникновение позиционных систем счисления, в которых вес каждой цифры соответствует занимаемой ею позиции в последовательности цифр, изображающих число.
Например, запись 56 означает, что это число можно составить из 6 единиц и 5 десятков. Если поменять позиции цифр, можно получить другое число – 65, содержащее 6 десятков и 5 единиц. Вес цифры 5 уменьшился в 10 раз, а вес цифры 6 в 10 раз вырос.
В любой позиционной системе счисления число представляется как многочлен. Например, представим десятичное число 4367 в виде многочлена:
4367 = 4000 + 300 + 60 + 7 = 4\cdot 103 + 3\cdot 102 + 6\cdot 101 + 7\cdot 100,
где 10 – основание десятичной системы.
Важной характеристикой любой позиционной системы является ее основание, которое представляет собой количество разных знаков либо символов, использующихся в изображении цифр в данной системе. Основание системы используется для описания ее количественных характеристик.
Позиционные системы счисления бывают:
-
двоичные (имеют в основании две цифры 0 и 1);
-
восьмеричные (в основании цифры от 0 до 7);
-
десятичные (в основании цифры от 0 до 9);
-
шестнадцатеричные (в основании цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F);
-
пятеричная (в основании цифры от 0 до 4, используется в Китае и в настоящее время);
-
двенадцатеричная (устаревшая, использовалась в начале XX века).
На основе двоичной системы счисления построена работа всей вычислительной техники, поскольку цифра 0 означает отсутствие сигнала, т.е. «выключено», а 1 обозначает, что сигнал пошел, т.е. состояние «включено».
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления также используются в вычислительной технике (например, для организации передачи данных внутри компьютера).
Десятичная система счисления используется нами в повседневной жизни, это наша «арабская» система счета, в основании которой лежат цифры от 0 до 9.
История появления этих чисел достаточно запутана. Доподлинно известно, что они появились благодаря древним астрономам, а именно - их точным расчетам.
Как известно, в вавилонской системе счисления имелся знак, обозначающий пропущенный разряд. Во II веке до н.э. с этими наблюдениями познакомились греческие астрономы. Они стали использовать данную систему счисления, однако целые числа изображали не клиньями, как вавилонцы, а в алфавитной нумерации (дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления). Нулевой разряд греческие астрономы изображали символом «0» (первая буква греческого слова Ouden - ничто).
На рубеже II и VI веков н.э. индийские астрономы заимствовали у греческих шестидесятеричную систему и изображение круглого греческого нуля. Индийцы совместили принципы греческой нумерации с китайской десятичной мультипликативной системой. При этом они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми, что явилось завершающим этапом в создании десятичной системы счисления.
Превосходная работа индийских математиков была воспринята арабскими учеными, и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу «Индийское искусство счета», в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее очень популярной среди европейских купцов.
В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу «Индийское искусство счета», и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А поскольку работа Аль-Хорезми была написана на арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неверное название – «арабская». Сами же арабы называют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.
Написание «арабских» цифр со временем претерпевало изменения. Написание, используемое нами, установилось в XVI веке.
Рисунок 2.
Достаточно широко раньше использовалась двенадцатеричная система счисления. Она произошла от счета на пальцах. Счет вели большим пальцем руки, используя фаланги других четырёх пальцев: всего их 12.
Элементы данной системы используются и в наше время в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко встречаются в быту элементы двенадцатеричной системы счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон.
Числа в английском языке от 1 до 12 имеют свое название, последующие числа являются составными:
Рисунок 3.
Для чисел от 13 до 19 - окончание слов - teen. Например, 15 - fiveteen.
Основным достоинством позиционных систем счисления является возможность записи больших чисел посредством малого количества цифр, а также упрощение выполнения арифметических действий с числами.