Как найти вектор, коллинеарный вектору

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие коллинеарности векторов

Чтобы понять, что значит коллинеарные векторы, сперва надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Определение 1

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Определение 2

Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.

Обозначение: $\overline{AB}$ - вектор $AB$ , имеющий начало в точке $A$ , а конец в точке $B$ .

Иначе одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Рисунок 1. Обозначение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 3

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Обозначение: $\overline{0}$ .

Далее рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными.

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой. Кроме того, понятие коллинеарность наблюдается в случается параллельности векторов (рис.2).

«Как найти вектор, коллинеарный вектору» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Рисунок 2. Коллинеарность векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Также введем определение векторного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Определение 5

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$ .

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Признак коллинеарности через пропорциональность или как определить коллинеарность векторов по координатам

Теорема 1

Главное условие коллинеарности векторов: чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны друг другу.

Доказательство.

Необходимость: Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ , которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$ , соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующие равенства

$α_1=rβ_1$ , $α_2=rβ_2$ , $α_3=rβ_3$

Так как векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ коллинеарны, то они будут либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Без ограничения общности, будем считать, что они будут сонаправлены, то есть $\overline{α}↑↑\overline{β}$ . Умножим один из этих векторов на действительное, большее нуля, число $r$ , так, чтобы длины векторов $r\overline{α}$ и $\overline{β}$ были равны между собой. По определению умножения векторов на число, получим, что $r\overline{α}↑↑\overline{β}$ . Но тогда, по определению равенства векторов, получим, что $r\overline{α}=\overline{β}$ . Из этого равенства получим, что

$α_1=rβ_1$ , $α_2=rβ_2$ , $α_3=rβ_3$

Достаточность: Пусть верны равенства $α_1=rβ_1$ , $α_2=rβ_2$ , $α_3=rβ_3$ . Докажем, что векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут коллинеарными.

Из данных равенств следует, что $r\overline{α}=\overline{β}$ .

Имеются два случая:

$r \lt 0$

В этом случае, по определению умножения вектора на число, получим, что $r\overline{α}↑↓\overline{β}$ .
$r >0$

В этом случае получим, что $r\overline{α}↑↑\overline{β}$ .

Тогда, в обоих случаях получаем доказательство коллинеарности векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ .

Ответ: теорема доказана.

Пример 1

Как проверить коллинеарность векторов $(3,-1)$ и $(9,-3)$ .

Доказательство.

Разложим второй вектор:

$(9,-3)=(3\cdot 3,3\cdot (-1) )=3(3,-1)$

Получаем, что координаты этих векторов пропорциональны друг другу, что, по теореме 1, и доказывает наше утверждение.

Признаки и свойства коллинеарности векторов через их произведение

Теорема 2

Чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулевому вектору.

Доказательство.

Так как векторы коллинеарны, то, по теореме 1, верны равенства

$α_1=rβ_1$ , $α_2=rβ_2$ , $α_3=rβ_3$

Найдем $\overline{α}х\overline{β}$ по формуле

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\rβ_1&rβ_2&rβ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\β_1&β_2&β_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r\cdot \overline{0}=\overline{0}$

Достаточность: Пусть верно равенство $\overline{α}х\overline{β}=\overline{0}$ , докажем, что векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ коллинеарны. Так как векторное произведение равняется $\overline{0}$ , то его длина также равняется нулю. Следовательно, угол между $\overline{α}$ и $\overline{β}$ равняется $180^\circ$ или $0^\circ$ . То есть, чтобы они были коллинеарны, векторы должны лежать на одной или параллельных прямых.