Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Проекция вектора на ось. Как найти проекцию вектора

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Геометрия / Метод координат / Проекция вектора на ось. Как найти проекцию вектора

Для понятия проекции вектора на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

а) вектор $\overline{a}$. б) вектор $overline{AB}$

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}↑↑\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↑↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

  1. Они сонаправлены;
  2. Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A'$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B'$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A'B'}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Решение.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A'$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B'$ (рис. 7).

Полученный на оси $l$ вектор $\overline{A'B'}$ и будет искомой геометрической проекцией.

Замечание 1

Заметим, что если угол между вектором и осью острый, то проекция сонаправлена с осью, а если тупой, то проекция противоположно направлена с осью.

Числовая проекция

Как мы уже знаем, результатом алгебраической проекции будет неотрицательное действительное число.

Определение 9

Числовой (алгебраической) проекцией на ось будем называть неотрицательное число, равное длине вектора геометрической проекции.

Рассмотрим это понятие на примере задачи:

Пример 2

Найти числовую проекцию вектора $\overline{F} на сонаправленную ему ось $x$, если угол между ними равняется $α$ (рис. 8). (рис. 8).

Решение.

Введем на рисунке следующие обозначения:

Видим, что длина вектора геометрической проекции, равняется длине $XY$. Из определения косинуса получим, что

$XY=|\overline{F}|cosα$

где $|\overline{F}|$ - длина вектора $\overline{F}$. Это и будет искомая алгебраическая проекция на ось.

Другие случаи можете видеть на рисунке 9.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис