Задачи на построение
В геометрии довольно распространены так называемые задачи на построение. Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку. Рассмотрим общую схему для выполнения таких задач:
-
Анализ задачи.
В эту часть входит установление связи между элементами, которые необходимо построить и начальными условиями задачи. После выполнения этого пункта у нас должен появиться план по решению нашей задачи.
-
Построение.
Здесь мы выполняем построения по плану, который был нами составлен выше.
-
Доказательство.
Здесь мы доказываем то, что построенная нами фигура действительно удовлетворяет начальным условиям задачи.
-
Исследование.
Здесь мы выясняем, при каких данных задача имеет одно решение, при каких несколько, а при каких ни одного.
Далее будем рассматривать задачи на построение треугольников по различным трем элементам. Здесь мы не будем рассматривать элементарные построения, таких как отрезок, угол и т.д. К этому моменту эти навыки уже у Вас должны иметься.
Построение треугольника по двум сторонами и углу между ними
Постройте треугольник, если нам даны две стороны и угол, который находится между этими сторонами.
Анализ.
Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и угол $α$. Нам нужно построить треугольник $ABC$ с углом $C$ равным $α$.
Составим план построения:
- Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
- Принимая $AB$ за одну из сторон угла, отложим от нее угол $BAM$, равный углу $α$.
- На прямой $AM$ отложим отрезок $AC$.
- Соединим точки $B$ и $C$.
Построение.
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 1).
Доказательство.
Из построения видно, что все начальные условия выполнены.
Исследование.
Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$. Значит, если угол α будет больше или равен $180^\circ$, то задача решений иметь не будет.
В другом случае решение есть. Так как прямая $a$ - произвольная прямая, то таких треугольников будет бесконечное количество. Но, так как они все равны между собой по первому признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
Построение треугольника по трем сторонам
Постройте треугольник, если нам даны три его стороны.
Анализ.
Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и $BC$. Нам нужно построить треугольник $ABC$.
Составим план построения:
- Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
- Построим $2$ окружности: первую с центром $A$ и радиусом $AC$, и вторую с центром $B$ и радиусом $BC$.
- Соединим одну из точек пересечения окружностей (которая будет точкой $C$) с точками $A$ и $B$.
Построение.
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 2).
Доказательство.
Из построения видно, что все начальные условия выполнены.
Исследование.
Из неравенства треугольника мы знаем, что любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Следовательно, когда такое неравенство не выполняется для исходных трех отрезков, задача решения иметь не будет.
Так как окружности из построения имеют две точки пересечения, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по третьему признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
Постройте треугольник, если нам дана одна стороны и углы $α$ и $β$, прилегающие к ней.
Анализ.
Пусть нам дан отрезок $BC$ и углы $α$ и $β$. Нам нужно построить треугольник $ABC$, где $∠B=α$, а $∠C=β$.
Составим план построения:
- Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $BC$.
- Построим в вершине $B$ к стороне $BC$ угол $∠ K=α$.
- Построим в вершине $C$ к стороне $BC$ угол $∠ M=β$.
- Соединим точку пересечения (это и будет точка $A$) лучей $∠ K$ и $∠ M$ с точками $C$ и $B$,
Построение.
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 3).
Доказательство.
Из построения видно, что все начальные условия выполнены.
Исследование.
Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$, то, если $α+β≥180^\circ$ задача решений иметь не будет.
В другом случае решение есть. Так как углы можем строить с двух сторон, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по второму признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
