Как найти площадь квадрата и площадь прямоугольника

Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны.

Математически это можно записать следующим образом

где $a$ -- длина стороны квадрата.

Доказательство.

Для доказательства нам необходимо рассмотреть три случая.

1. Пусть $a=\frac{1}{n},\ n\in {\mathbb N}$.

   Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна единице и разобьем его на $n^2$ равных между собой квадратов (рис.1).

   
   
   Рисунок 1.

   Площадь всего квадрата. По введенному понятию площади, равняется единице, следовательно, по свойству площадей 2, площадь маленького квадрата равняется

   $$S=\frac{1}{n^2}=a^2$$

2. Пусть $a$ десятичная дробь, имеющая $n$ знаков после запятой.

   Пусть $m=a\cdot {10}^n$. Число $m\in {\mathbb N}$. Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна $a$ и разобьем его на $m^2$ равных между собой квадратов(рис. 2). Каждая сторона маленького квадрата равняется

   $$\frac{a}{m}=\frac{a}{a\cdot {10}^n}=\frac{1}{{10}^n}$$

   
   
   Рисунок 2.

   Тогда по свойству $1$ и пункту $1$ данного доказательства, имеем

   $$S=m^2{\left(\frac{1}{{10}^n}\right)}^2={\left(\frac{a\cdot {10}^n}{{10}^n}\right)}^2=a^2$$

3. Пусть $a$ -- бесконечная десятичная дробь.

   Построим число $b$ отбросив от числа $a$ десятичных знаков после запятой, начиная с $\left(n+1\right)$ десятичного знака. Для чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство

   $$b\le a\le b+\frac{1}{{10}^n}$$

   то есть

   $$b^2\le a^2\le {\left(b+\frac{1}{{10}^n}\right)}^2$$

   Для искомой площади также выполняется следующее неравенство

   $$b^2\le S\le {\left(b+\frac{1}{{10}^n}\right)}^2$$

   Так как, при $n\to \infty$

   $${\mathop{\lim }_{n\to \infty } {\left(b+\frac{1}{{10}^n}\right)}^2\ }=b^2$$

   то из двух последних неравенств, получим

   $$S=a^2$$

Теорема доказана.

Площадь прямоугольника определяется произведением длин его смежных сторон.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$, у которого $AB=b,\ AD=a$. Достроим его до квадрата $APRV$, длина стороны которого равняется $a+b$ (рис. 3).

Рисунок 3.

По второму свойству площадей имеем

По теореме 1

Теорема доказана.