Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Как найти площадь квадрата и площадь прямоугольника

Площадь многоугольника

Понятие площади многоугольника будем связывать с такой геометрической фигурой, как квадрат. За единицу площади многоугольника будем принимать площадь квадрата со стороной, равной единице. Введем два основных свойства, для понятия площади многоугольника.

Свойство 1: Для равных многоугольников значения их площадей равны.

Свойство 2: Любой многоугольник можно разбить на несколько многоугольников. При этом площадь исходного многоугольника равняется сумме площадей всех многоугольников, на которые разбит данный многоугольник.

Далее рассмотрим вывод формул для площадей квадрата и прямоугольника.

Площадь квадрата

Теорема 1

Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны.

Математически это можно записать следующим образом

S=a2

где a -- длина стороны квадрата.

Доказательство.

Для доказательства нам необходимо рассмотреть три случая.

  1. Пусть a=1n, nN.

    Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна единице и разобьем его на n2 равных между собой квадратов (рис.1).



    Рисунок 1.

    Площадь всего квадрата. По введенному понятию площади, равняется единице, следовательно, по свойству площадей 2, площадь маленького квадрата равняется

    S=1n2=a2
  2. Пусть a десятичная дробь, имеющая n знаков после запятой.

    Пусть m=a10n. Число mN. Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна a и разобьем его на m2 равных между собой квадратов(рис. 2). Каждая сторона маленького квадрата равняется

    am=aa10n=110n



    Рисунок 2.

    Тогда по свойству 1 и пункту 1 данного доказательства, имеем

    S=m2(110n)2=(a10n10n)2=a2
  3. Пусть a -- бесконечная десятичная дробь.

    Построим число b отбросив от числа a десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1) десятичного знака. Для чисел a и b выполняется неравенство

    bab+110n

    то есть

    b2a2(b+110n)2

    Для искомой площади также выполняется следующее неравенство

    b2S(b+110n)2

    Так как, при n

    limn(b+110n)2 =b2

    то из двух последних неравенств, получим

    S=a2

Теорема доказана.

Площадь прямоугольника

Теорема 2

Площадь прямоугольника определяется произведением длин его смежных сторон.

Математически это можно записать следующим образом

S=ab

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник ABCD, у которого AB=b, AD=a. Достроим его до квадрата APRV, длина стороны которого равняется a+b (рис. 3).



Рисунок 3.

По второму свойству площадей имеем

SABCD+SCQRT+SBPQC+SDCTV=SAPRV
2SABCD=SAPRVSBPQCSDCTV
SABCD=SAPRVSBPQCSDCTV2

По теореме 1

SAPRV=(a+b)2, SBPQC=a2, SDCTV=b2
SABCD=a2+2ab+b2a2b22=ab

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти площадь прямоугольника со сторонами 5 и 3.

Решение.

По теореме 2, получим

S=53=15

Ответ: 15.

Пример 2

Найти площадь квадрата, диагональ которого равняется 10.

Решение.

Обозначим сторону квадрата через a. Тогда, по теореме Пифагора

a2+a2=100
2a2=100
a2=50
a=52

По теореме 1

S=(52)2=50

Ответ: 50.

Дата последнего обновления статьи: 19.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Как найти площадь квадрата и площадь прямоугольника"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant