Площадь многоугольника
Понятие площади многоугольника будем связывать с такой геометрической фигурой, как квадрат. За единицу площади многоугольника будем принимать площадь квадрата со стороной, равной единице. Введем два основных свойства, для понятия площади многоугольника.
Свойство 1: Для равных многоугольников значения их площадей равны.
Свойство 2: Любой многоугольник можно разбить на несколько многоугольников. При этом площадь исходного многоугольника равняется сумме площадей всех многоугольников, на которые разбит данный многоугольник.
Далее рассмотрим вывод формул для площадей квадрата и прямоугольника.
Площадь квадрата
Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны.
Математически это можно записать следующим образом
S=a2где a -- длина стороны квадрата.
Доказательство.
Для доказательства нам необходимо рассмотреть три случая.
-
Пусть a=1n, n∈N.
Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна единице и разобьем его на n2 равных между собой квадратов (рис.1).
Рисунок 1.Площадь всего квадрата. По введенному понятию площади, равняется единице, следовательно, по свойству площадей 2, площадь маленького квадрата равняется
S=1n2=a2 -
Пусть a десятичная дробь, имеющая n знаков после запятой.
Пусть m=a⋅10n. Число m∈N. Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна a и разобьем его на m2 равных между собой квадратов(рис. 2). Каждая сторона маленького квадрата равняется
am=aa⋅10n=110n
Рисунок 2.Тогда по свойству 1 и пункту 1 данного доказательства, имеем
S=m2(110n)2=(a⋅10n10n)2=a2 -
Пусть a -- бесконечная десятичная дробь.
Построим число b отбросив от числа a десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1) десятичного знака. Для чисел a и b выполняется неравенство
b≤a≤b+110nто есть
b2≤a2≤(b+110n)2Для искомой площади также выполняется следующее неравенство
b2≤S≤(b+110n)2Так как, при n→∞
limn→∞(b+110n)2 =b2то из двух последних неравенств, получим
S=a2
Теорема доказана.
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника определяется произведением длин его смежных сторон.
Математически это можно записать следующим образом
S=abДоказательство.
Пусть нам дан прямоугольник ABCD, у которого AB=b, AD=a. Достроим его до квадрата APRV, длина стороны которого равняется a+b (рис. 3).
Рисунок 3.
По второму свойству площадей имеем
SABCD+SCQRT+SBPQC+SDCTV=SAPRVПо теореме 1
SAPRV=(a+b)2, SBPQC=a2, SDCTV=b2Теорема доказана.
Пример задач
Найти площадь прямоугольника со сторонами 5 и 3.
Решение.
По теореме 2, получим
S=5⋅3=15Ответ: 15.
Найти площадь квадрата, диагональ которого равняется 10.
Решение.
Обозначим сторону квадрата через a. Тогда, по теореме Пифагора
a2+a2=100По теореме 1
S=(5√2)2=50Ответ: 50.