Роль Диофантовых уравнений в развитии логического мышления учащихся
Логическое мышление – это тип мыслительной деятельности, основанный на оперировании понятиями, суждениями, формулировании умозаключений и использовании логических конструкций.
Логическое мышление ориентировано на формулирование выводов, носящих обоснованный и достоверный характер на основании, имеющихся информационных данных.
Данный тип мышления лежит в основе познавательной деятельности, поскольку, позволяет устанавливать причинно-следственные связи между объектами, процессами и явлениями, делать выводы и постигать суть объектов, процессов и явлений окружающего мира.
Логическое мышление активно развивается в ходе математического познания. Потому, все темы на уроках математики носят логическую направленность.
Одной из тем математического познания являются Диафантовы уравнения.
Диофантовы уравнения – это уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, которые не имеют единого алгоритма решения.
Как правило, решение таких уравнений имеет бесконечное число вариантов. Для решений этих уравнений используются специальные приемы и требуется активное подключение логического мышления учащихся для того, чтобы доказать имеет ли уравнение хотя бы одно решение или решений уравнения не существует, т.е. невозможно найти ни одного целого натурального числа.
Их использование в образовательной практике ориентировано, прежде всего, на формирование логического мышления учащихся, стимулирование их логических рассуждений по ходу познания математики и иных дисциплин.
Уравнения Диофанта, входящие в образовательную программу школы, состоят из двух переменных и имеют вид:
ax + by = c,
где a и b – целые взаимно простые числа.
Решение такого уровня не требует знания сложных формул, а, предполагает оперирование математическими знаниями и рассуждениями в опоре на понимание числовой теории. Все это обеспечивает связь в логическую конструкцию, что стимулирует логическую сторону мышления учащихся.
Диофантовы уравнения называют еще неопределенными, потому, что они могут иметь более одного решения.
Овладение методами решения данного типа уравнений способствует развитию математического кругозора учащихся, стимулируют работу математической интуиции и развивает желание постигать математическую науку.
Диофантовы уравнения являются нестандартными: в них имеется более одной переменной, требующей поиска, и решением таких уравнений могут быть только целые, рациональные, натуральные числа. Они предполагают использование специальных методов и приемов решения, которые опираются на логические рассуждения. Все это, обеспечивает активизацию логической работы учащихся, стимулирует их логические рассуждения.
Кроме того, в решении Диофантовых уравнений не имеется исчерпывающего количества т.е. ограниченного количества их решений. Их имеется большое количество, от простых до сложных и замысловатых. Постижение этих решений и приход к ним требует объемной и содержательной логической работы, логических рассуждений. Учащиеся анализируют исходные данные, устанавливают логические связи между ними и приходят к нахождению оптимального решения. Как уже было отмечено, оно может быть ни одно и, каждый учащийся может предложить свой вариант решения.
В изучении Диофантовых уравнений на уроках математики в школе применяются следующие методы:
- Перебор возможных вариантов. Метод заключается в рассмотрении всех возможных вариантов переменных, их разборе и анализе;
- Разложение на множители. Уравнение раскладывается на множители и разбивается на системы простых уравнений, решением которых являются целые числа;
- Выражение одной переменной через другую;
- Метод остатков. Он предполагает деление переменных на какое-то число и нахождение остатков, которые позволяют судить о возможности или невозможности нахождения целочисленных решений уравнения.
Данные методы решения уравнений предполагают первоначальный интуитивный поиск вариантов решения, затем творческий поиск методов, актуальных для нахождения искомых переменных, доказательство актуальности выбранных методов и отсутствия других или, напротив наличия других методов решения, а затем логическое оформление идей, которые были выработаны в ходе рассуждений.
Как видно, решение Диофантовых уравнений требует активной логической работы учащихся.
Развивающие задачи уроков математики по теме «Диофантовы уравнения»
Развитие логического мышления напрямую зависит от организации учебного процесса. Математика стимулирует развитие логики, но если процесс обучения выстроен логически не верно, то познавательный процесс будет неэффективным, и активизация логической работы не будет реализована на уроках.
Чтобы изучение Диофантовых уравнений на уроках математики стимулировало развитие логики учащихся, требуется построение содержания занятий в опоре на развивающие задачи. Таковыми являются:
- Развитие у учащихся навыков обобщения, анализа, сравнения и оценки данных, умения делать рациональные выводы и умозаключения.
- Развитие креативного мышления учащихся.
- Активизация работы познавательных процессов учащихся.
- Развитие навыков общения и рассуждения в ходе него.
- Стимулирование познавательной заинтересованности учащихся.
- Формирование навыков исследования и экспериментирования, освоение методов исследовательского поиска информации, способов решения задач.
- Развитие мыслительных процессов.
- Развитие практической направленности деятельности учащихся в аспекте изучаемого материала.
Следует, также, отметить, что создание на уроке математики устойчивого интереса к предмету, мотивации к деятельности является залогом полноценного освоения учащимися образовательной программы по дисциплине и развития навыков оперирования понятиями, выдвижения суждений и формулирования умозаключений.
Развитие логического мышления учащихся в ходе познания Диофантовых уравнений возможно, только, в условиях развивающего обучения. Ведь, оно стимулирует развитие не только интеллектуальных процессов, а активизирует все стороны личности, все аспекты ее развития, в том числе психические процессы: эмоционально-волевую сферу, творческую инициативу, стимулирование развития новообразований в различных аспектах социального опыта, развитие самосознания, самооценки, выработка ценностных ориентаций, навыков организации своей деятельности: постановка целей, выбор методов и средств их достижения, развитие и совершенствование механизмов познания. Все это необходимо для развития логического мышления, стимулирует его.
