Степень числа – это многократное повторение умножения числа на само себя.
Степень числа записывается в виде числового знака, расположенного над числом. Знак имеет меньший размер, чем само число и обозначает количество раз, которое число умножается на само себя. Число операций умножения называется показателем степени числа, а само число выступает основанием степени.
Степень числа изучается в курсе алгебры средней общеобразовательной школы, начиная с седьмого класса.
Принципы изучения степени числа в общеобразовательной школе
Изучение степени числа в курсе алгебры начинается с седьмого класса. Обучение начинается с познания степени с натуральным показателем. Полноценно изучив данную тему, происходит переход к познанию степени отрицательного числа, а затем изучается степень с целым показателем и степень с рациональным показателем. Во время изучения, осуществляется освоение выполнения различных операций с числами и их степенями.
Возведение числа в степень n первоначально основывалось на понимании повторения данного числа некоторое количество раз, а именно n –ое количество. При этом, не рассматривалось операций с отрицательными основании и отрицательными степенями, а также степенями с рациональными показателями. Только в конце XVII Ньютоном было дано определение степени числа, его значение, рассмотрены числа с различными степенями и операции с ними.
Изучение степени числа реализуется на основании соблюдения ряда принципов:
- Принцип доступности. В данном случае, огромную роль играет доступность изложения материала. Педагог должен начинать с простых понятий и переходить постепенно к более сложным. Кроме того, необходимо опираться на аналогии и сравнения в объяснении, давать наглядные примеры и демонстрировать практическое использование теории в решении арифметических задач на нахождение степени числа и совершения иных операций со степенями. Как правило, педагог составляет алгоритм решения задач и добивается запоминания учащимися последовательности совершения арифметических действий.
- Принцип наглядности. Обучение арифметическим операциям со степенями должно быть реализовано с помощью наглядных примеров действий. Актуально применение графиков и диаграмм, демонстрирующих натуральные числа и их переходы в степень с помощью линий и отрезков или движения изображения переменной величины. Хорошо выстраивать таблицы с числовыми значениями и отображать их переходы в различные степени с помощью графика. Это не только делает объяснение более понятным для учащихся, но и развивает их интерес к совершению математических операций с различными степенями чисел.
- Принцип активности. Предполагается, что учащиеся должны проявлять активность в познании степени числа и стремиться совершать различные арифметические действия с числами и степенями. Для этого, используются приемы интересной подачи нового материала.
- Принцип концентричности. Изучение степени числа реализуется в средней и старшей школе. Например, в пятом классе учащиеся узнают, что представляет собой квадрат числа и как он записывается. При этом, они не изучают никаких операций с квадратом числа. Первоначальное представление о степени числа формируется в курсе алгебры в 7-ом классе. Происходит освоение понятия степени числа, изучаются свойства и осваиваются простые операции со степенями. Далее, знания расширяются и углубляются.
Методика изучения степени числа с натуральным показателем
Изучение степени числа с натуральным показателем реализуется поэтапно:
- Знакомство с понятием степени числа с натуральным показателем. Учащимся объясняется, что степенью числа а, с натуральным показателем n, который больше одного, называется произведение показателя n на число а. Запись данной операции имеет следующий вид: $a^ⁿ = a • a • a • a….$ n-е количество раз.
- Освоение понятия «возведение в степень» и нахождение степени числа. Здесь, учащимся дается информация о том, что если в степень возводится положительное число, то и ответ будет положительным числом, а если отрицательное, то получается отрицательное число или положительное: все зависит от степени числа (если степень имеет четное число, то результат будет положительным, а если нечетное, то отрицательным. Если возвести в степень нуль, то и ответ будет равен нулю.
- Освоение операций на умножение степеней с одинаковым основанием. Изучается основное правило умножение степеней: сохранение значения основания числа и сложение его степеней т.е. $а^ⁿ • а^ⁿ = а^{ⁿ+ⁿ}$.
- Освоение выполнения операций по возведению степени числа в степень. Осваивается правило возведения степени числа в степень: сохранение основания и умножение степеней друг на друга т.е. $(а^ⁿ)^ ⁿ= а^{ⁿ • ⁿ}$
- Освоение возведения степени произведения чисел. Осваивается правило совершения данной операции: возведение в степень каждого основания и их умножение друг на друга т.е. $ab^ⁿ = а^ⁿ • b^ ⁿ$.
- Освоение возведения в степень дроби. Осваивается правило совершения данной операции: поочередное возведение в степень числителя и знаменателя т.е. $(а/b)^ ⁿ= а^ ⁿ/b^ ⁿ$.
Изучение степени отрицательного числа и степени с рациональным показателем
Методика изучения данных степеней реализуется в следующей последовательности:
- Рассмотрение степени отрицательного числа с четным и нечетным показателем: их понятие и различия или изучение понятия степени с рациональным показателем. Степень отрицательного числа с четным показателем является положительным числом, а степень отрицательного числа с нечетным показателем является отрицательным числом. Это объясняется правилами умножения: умножение четных отрицательных чисел дает положительный результат, а нечетных отрицательных множителей – отрицательный. Степень с рациональным показателем представляет собой число с основанием а, степенью которого является дробь т.е. $а^{ ⁿ/ m}$.
- Изучение особенностей совершения различных арифметических действий с отрицательными числами и степенями с рациональным показателем. Осваиваются основы их умножения, деления, возведения в степень.
- Закрепление теоретической информации выполнением практических арифметических примеров на данные темы.
