Применение математики и теории оптимизации в менеджменте
Методы оптимальных решений – это раздел математики, изучающий теорию и методы поиска наилучших вариантов планирования, а также базовая дисциплина математического и естественнонаучного цикла федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования.
Человечество стремится достичь совершенства. Если говорить о менеджменте, то люди хотят составить не просто «какую-нибудь» производственную программу, а ту, которая принесет наилучшие результаты при наименьших затратах. Без такого подхода выживание в конкурентной среде будет затруднено. Математическая теория оптимизации служит для приближения к такому совершенству.
Статья: Методы оптимальных решений
Для того, чтобы при принятии реальных экономических решений выработать ориентиры и отбраковать заведомо непригодные варианты, используют формализованные математические методы. Математические методы бывают численными и аналитическими. Они позволяют:
- принимать к учету различные внутренние и внешние связи рассматриваемых объектов,
- оценивать последствия (в том числе долгосрочные) принимаемых решений,
- выполнять анализ большого числа альтернатив.
В реальности экономическая ситуация слишком сложна для того, чтобы абсолютно адекватно сформировать ее математический образ для эффективной работы с ним. В любом случае окончательное решение принимает человек.
Экономисты-прикладники интересуются двумя типами задач:
- прогнозными (что будет, если принять то или иное решение),
- управленческими (какое решение следует принять, чтобы получить желаемый результат каким-либо или наилучшим образом).
В исследовании операций задачу прогноза называют прямой, а задачу управления – обратной. С точки зрения техники вычислений, первая задача более простая. Так, найти значение функции для конкретного аргумента легче, чем отыскать экстремум (минимум или максимум) функции. Кроме того, решение задачи управления обязательно требует решения прогностической задачи, включает ее как элемент. Поскольку задача управления крайне сложна, в ней применяют упрощенные модели для рассматриваемых объектов. Задачу прогнозирования можно решать с помощью более адекватной реальности, более подробной модели. Поэтому после того, как по простой модели найдено управленческого решение, его часто проверяют на адекватной модели, построенной для прогноза. Для этого пользуются имитационными экспериментами на компьютере.
У теории оптимизации широкая сфера приложения. Она может использоваться не только для решения управленческих задач, но и для:
- поиска инженерных решений,
- формализованного описания социальных, природных и экономических процессов.
Формулировка задачи оптимизации
Менеджмент работает с огромным количеством элементов, находящихся во взаимосвязях. Эти элементы характеризуются:
- разнотипностью,
- управляемостью каждого,
- активной ролью людей в ходе планирования и осуществления управляющих воздействий.
В математической экономике используется два типа моделей:
- управляемые,
- прогнозные.
В управляемых моделях используются переменных трех групп:
- фазовые координаты, характеризующие текущее состояние объекта,
- управляющие воздействия, влияющие на изменения состояния объекта. Их особенность – они поддаются целенаправленному выбору,
- неконтролируемые воздействия, задаваемые извне (в частности, начальные значения для фазовых координат, различные функции времени).
При формулировке оптимизационной проблемы принимается предположение, что все неконтролируемые переменные могут быть заранее точно спрогнозированы. Иными словами, исходят из упрощения, в соответствии с которым в задаче отсутствуют возмущения. Это математическая абстракция, не отражающая экономическую реальность, но облегчающая решение.
Классическая однокритериальная задача оптимизации сводится к тому, чтобы найти максимум функции f по переменным х в пределах множества Х.
Сами модели при этом могут быть как статическими, так и динамическими.
Оптимальным решением такой задачи служит некая точка х0 (или несколько таких точек), принадлежащая множеству допустимых решений, в которых максимизируемая функция f достигает наибольшего значения (в сравнении с остальными допустимыми точками).
На практике часто бывает нужно решить задачу не на максимум, а на минимум – например, минимизировать издержки. С математической точки зрения достаточно изменить знак функции, и тогда задача сведется к поиску максимума, поэтому в общем случае достаточно рассматривать задачи только одного вида – максимизации.
Точку х0 называют положением максимума, точкой максимума, оптимальным решением, оптимальным планом или оптимальной программой (если речь идет о динамических задачах). Значение, которое функция f принимает в точке максимума, называют максимумом функции или величиной максимума на множестве Х.
Величина максимума всегда единственная, в то время как его положений может быть много (если функция имеет одно и то же значение в разных точках). В этом смысле важно не путать максимум с локальными максимумами, которых может быть много (с разными значениями).
Задача оптимизации не обязательно имеет решение. Эти задачи отличаются разнообразием, поэтому до сих пор не сформулирован четкий список необходимых и достаточных условий существования решения. Однако несколько необходимых и несколько достаточных условий известны, и в некоторых случаях они помогают заранее определить, будет ли задача иметь решение. Основные причины отсутствия решений:
- множество допустимых решений пустое. Такая ситуация полностью лишает смысла понятие оптимальности. У менеджера просто нет вариантов, из которых он бы мог выбрать лучший. Такая ситуация часто возникает в громоздких задачах, которые моделируют большие коллективы специалистов с плохо налаженными коммуникациями,
- максимизируемая функция не ограничена сверху и может расти до бесконечности,
- точная верхняя грань максимизируемой функции недостижима.
