Вычислить первообразную сложной функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Теоретическая часть

Понятие первообразной функции актуально в механике. Проблема нахождения функции по некоторой определённой производной этой же функции является задачей первообразной. Поэтому будем считать, что задачи по нахождению производных функций уже известны. Обычно понятие первообразной разбирают в рамках вопроса нахождения определённого интеграла.

Определение 1

Первообразная функция $F(x)$ или просто первообразная является таковой, если в любой точке $x$ из некоторого замкнутого интервала $X=(a,b)$ на числовом множестве (или на бесконечной прямой) $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$.

Если известны основные элементарные производные, то задача нахождения первообразной разрешима.

Если $C$ - любая постоянная величина (константа), то $F(x)+C$ - тоже первообразная для $f(x)$. Это означает, что у функции имеется бесконечное множество первообразных, которые отличны друг от друга на постоянную величину, потому что производная от $C$ равна нулю. Графически первообразные одной функции будут представлять собой одинаковую кривую с параллельным сдвигом относительно друг друга в направлении оси ординат.

Теорема 1

Две любые первообразные одной функции могут отличаться только на постоянное слагаемое. То есть $F_1(x)-F_2(x)=C$.

Неопределённый интеграл от какой-либо функции представляет общий вид (выражение) всех её первообразных. Заметим, что первообразная и неопределённый интеграл существуют только для непрерывных функций на заданном промежутке.

Найти общее выражение первообразных представляется возможным, если решить неопределённый интеграл от заданной функции.