Средняя линия трапеции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её векторным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$ . И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$ .

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$ . Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$ .

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$ . Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$ .

Сумма боковых сторон равна

$15\ см+17\ см=32\ см$

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$ , сумма оснований равна

$52\ см-32\ см=20\ см$

Значит, по теореме 1, получаем

$n=\frac{20\ см}{2}=10\ см$

Ответ: $10\ см$ .

«Средняя линия трапеции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$ . Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$ . Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$ , следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$ . Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем

$OH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{9\ см+5\ см}{2}=7\ см.$

Значит

$d=2OH=2\cdot 7\ см=14\ см.$

Ответ: $14$ см.

Пример 3

Доказать, что средняя линия трапеции проходит через середину произвольной диагонали данной трапеции.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ADCD$ со средней линией $MN$ . Рассмотрим диагональ $AC$ . Обозначим точкой $K$ - точку пересечения средней линии с этой диагональю (Рис. 3).

Рисунок 3.

Докажем, что $AK=KC$ .

Так как $MN$ - средняя линия трапеции, то по теореме 1 $MN||BC$ . Следовательно, $AM=NB$ и $MK||BC$ . Тогда, по теореме о средней линии треугольника, получим что $MK$ - средняя линия треугольника $ABC$ . Значит $AK=KC$ .