Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения высших степеней

Все предметы / Математика / Уравнения высших степеней
Замечание 1

Уравнения высших степеней — это уравнения, в которых старшая степень при переменной больше либо равна трём. На данный момент не существует какой-либо единой схемы для решения уравнений высших степеней.

Наиболее известными схемами для решения являются:

  • Формула Кардано, он подходит только для уравнений 3-ьей степени;
  • Метод Феррари для уравнений 4-ой степени;
  • Теорема Виета для степени больше двух;
  • Теорема Безу;
  • Схема Горнера.

Ниже рассмотрены основные методы решения уравнений высших степеней с целыми и рациональными коэффициентами, справедливые для разных степеней.

Теорема Виета

Рассмотрим уравнение вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

Данное уравнение обладает тремя корнями и для того чтобы его решить в общем виде, необходимо решить следующую систему:

$\begin{cases} x_1 + x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \\ \end{cases}$

Иначе эти системы уравнений также называют формулами Виета.

Пример 1

Решите уравнение: $x^3+x^2-4x-4=0$.

Решение:

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x_1+ x_2+x_3=-\frac{1}{1} \\ x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_3=-\frac{4}{1}=-4 \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3= -\frac{4}{1}\\ \end{cases}$

Решив её, получим следующие корни:

$\begin{cases} x_1=-2 \\ x_2=2 \\ x_3=-1 \\ \end{cases}$

Теорема Безу

Суть этой теоремы в том, что если уравнение вида $a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2]}+...+a_{n-1}x+a_n=0$ с ненулевым свободным членом имеет некий корень $α$, принадлежащий к множеству целых чисел, то этот корень будет делителем свободного члена.

Алгоритм при решении уравнения с использованием теоремы Безу следующий:

  1. Найти и выписать все делители свободного члена.
  2. Проверять эти делители до тех пор, пока не будет найден хотя бы один, являющийся корнем уравнения.
  3. Разделить всё уравнение на $(x-α)$ и записать само уравнение как произведение $(x-α)$ и результата выполненного деления.
  4. Решить полученное после разложения уравнение.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 2

Решите: $x^3+4x^2+x-6=0$

Решение:

Делители члена не при переменной: $±1;±2;±3;±6$

Подставим $1$ в корень уравнения и получим, что наше равенство выполняется:

$1^3+4 \cdot 1^2+1-6=0$

Следовательно, $x_1=1$ — один из корней уравнения. Теперь необходимо выполнить деление многочлена столбиком:

Схема деления многочлена столбиком. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Схема деления многочлена столбиком. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

После этого исходное уравнение можно записать разложив на множители:

$(x-1)(x^2+5x+6)=0$

Решаем полученное квадратное уравнение и получаем ещё 2 корня: $x_{2,3}=-3;-2$.

Схема Горнера

Схема Горнера состоит в том, чтобы также сначала найти какой-либо корень уравнения вида $a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2]}+...+a_{n-1}x+a_n=0$ через делители свободного члена.

После этого составляется специальная таблица с результатами деления на $(x-α)$, в которой каждый член зависим от предыдущего. Коэффициенты из данной таблицы используются как коэффициенты в полученном от деления частного многочлене, они вычисляются по формулам:

$b_0=a_0; b_1=αb_0+a_1; b_2=αb_1+a_2...b_{n-1}= αb_{n-2}+a_{n-1};b_n=αb_{n-1}+a_n$.

Таблица для вычисления коэффициентов по схеме Горнера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Таблица для вычисления коэффициентов по схеме Горнера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Решить: $x^3+4x^2+x-6=0$.

Решение:

Делители свободного члена — $±1;±2;±3;±6$

Запишем таблицу со коэффициентами:

Схема Горнера: пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Схема Горнера: пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда получаем, что многочлен, полученный от деления на $(x-α)$ при $α=1$, равен $x^2+5x+6$.Получается, что исходное уравнение принимает вид:

$(x-1) \cdot ( x^2+5x+6)=0$.

Корни же второго многочлена будут $x_{2,3}=-2;-3$.

Метод одновременного подбора по коэффициенту при старшей степени и при свободном члене

Данный метод основан на следующем условии:

Определение 1

Несократимая дробь $\frac{p}{q}$ будет корнем уравнения, если числитель этой дроби является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.

Алгоритм этого метода:

  1. Поиск делителей свободного члена.
  2. Поиск делителей коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.
  3. Составление дробей и подбор решения.
Пример 4

Решите: $2x^4+17x^3-17x^2-8x+6=0$.

Решение:

Делители свободного члена: $±1; ±2; ±3; ±6$.

Делители коэффициента при старшем члене: $1; 2$.

Следовательно, как корни нужно проверить следующие значения: $1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; -\frac{3}{2}$.

Подставив эти числа в уравнения, получим, что корнями уравнения являются $x_1=1;x_2= \frac{1}{2}$.

Это значит, что многочлен можно разделить на $2(x-1)(x-\frac{1}{2})=2x^2-3x+1$. При выполнении деления получаем частное $x^2+10x+6$.

Приравниваем этот многочлен к нулю и находим его корни через дискриминант, они равны $x_{3,4}=-5±\sqrt{19}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис