Уравнение касательной

Вспомним определение секущей для лучшего понимания что такое касательная.

Касательной прямой к графику кривой называют прямую, проходящую через некую точку кривой и совпадающую с ней в этой точке так, что это прямая лишь касается кривой.

Другое и более ёмкое определение касательной дал Лейбниц.

Геометрический смысл производной в точке и касательной

Рассмотрим определение касательной подробнее.

Рисунок 1. Касательная и секущая к графику. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пусть дана некая кривая $L$, а на ней выбрана произвольная точка $M$. Возьмём ещё одну точку $P$, расположенную также на этой кривой и проведём через точки $M$ и $P$ секущую. Теперь поставим точку $P$ ещё ближе к точке $M$ и проведём новую секущую.

Проделаем так ещё несколько раз, каждый раз получая новую секущую, как бы поворачивающуюся вокруг точки $M$.

В момент, когда очередная точка $P$ находится бесконечно близко к точке $M$, секущая как бы достигает своего предельного положения, в котором по сути она лишь касается графика.

Это положение называется касательной к графику кривой $L$ в точке $M$.

Уравнение касательной через производную

Теперь узнаем, как найти уравнение касательной.

Рассмотрим некую функцию $y(x)$ и выберем на ней точку $M$ с координатами $(a; y(a))$.

Сделаем приращение к аргументу $x$ в этой точке, равное $Δx$ и рассмотрим точку $P$ на графике функции с абсциссой, равной $x=x+Δx$. Значение функции в этой точке будет равно $y(a+ Δx)$. Проведём через точки $M$ и $P$ секущую.

Как мы помним из курса математики, угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью абсцисс. Это значит, что угловой коэффициент рассматриваемой нами секущей равен приращению функции $y$ к приращению функции $x$:

$k_{секущ.}=\frac{Δy}{Δx}\left(1\right)$.

Теперь рассмотрим приращение $Δx$ как бесконечно малую величину. В этом случае точка $P$ с координатами $(a; y(a)+ Δy)$ будет приближаться к точке $M$, стремясь к ней. Следовательно, угловой коэффициент нашей секущей, которая в данном случае является касательной, равен пределу:

$k_{кас.}=lim_{ Δx \to 0}(k_{секущ.})$

Воспользуемся формулой $(1)$ для секущей:

$k_{кас.}=lim_{ Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}$

Данный предел также носит название производной функции $y=f(x)$ в точке $x$ и обозначается как $y’(x)$.

Иначе данное утверждение можно записать как

$k_{кас.}(a)=f’(a)$.

То есть, при составлении уравнения касательной через производную, производная функции является угловым коэффициентом.

Заметим на всякий случай, что сама функция $y=f(x)$ и её производная $y’(x)$ — две разные функции, равные между собой в точке $x$.

Таким образом, в общем виде уравнение касательной будет иметь вид:

$y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0) \left(2\right)$,

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f’(x_0)$ — её производная.

Уравнение касательной для параболы

Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ" />

Рисунок 2. Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим получение уравнения касательной к графику функции на параболе $y=ax^2$ в точке $M$ c координатами $(x; y)$.

Придадим этой точке приращение по оси $OX$, равное $Δx$, приращение по оси $y$ тогда составит $y+Δy=a(x+ Δx)^2$. Точку с координатами $(x+ Δx; y+Δy)$ назовём $P$.

Теперь чтобы определить тангенс угла секущей $MP$с осью абсцисс, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNP$. В нём катет $MN$ равен $Δx$, а второй катет $Δy$ — это приращение ординаты, равное $Δy=a(2x \cdot Δx + Δx^2)$.

Выразим используя эти данные тангенс угла $φ$.

$\mathrm{tg}φ=\frac{Δy}{Δx}=2ax + a \cdot Δx$

Теперь для получения углового коэффициента рассмотрим это отношение при бесконечно малой величине $Δx$. Как известно, в этом случае мы имеем дело с пределом:

$\mathrm{tg}φ= \lim_{Δx \to 0}(2ax+a \cdot x)=2ax$.

Благодаря такому соотношению становится легко построить касательную к параболе (рис. 2, б).

Для этого достаточно рассмотреть треугольник $\triangle MPT$, так как отрезок $TP$ будет равен:

$TP=\frac{y}{\mathrm{tg}α}=\frac{ax^2}{2ax}=\frac{x}{2}$

То есть, для того чтобы получить касательную, необходимо соединить середину отрезка $OP$ с точкой $M$.

Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента

Рассмотрим несколько различных случаев значения углового коэффициента для касательной.

Если её угловой коэффициент, то есть, тангенс, равен нулю, то касательная расположена параллельно оси $OX$, а сама прямая принимает вид $y=b$.

Если тангенс положительный, то касательная образует острый угол с осью абсцисс, что значит, что вместе с ростом $x$ растёт и $y$.

В случае если тангенс отрицательный, прямая образует тупой угол с горизонтальной осью, а это значит, что с увеличением значения икса происходит уменьшение значения игрека.

Есть ещё один случай расположения касательной — параллельно оси $OY$, в этом случае её уравнение описывается как $x=c$, где $c$ — некая константа.

Другим числом, определяющим положение касательной, является число $b$, являющееся свободным членом в уравнении прямой $y=kx+b$. Число $b$ характеризует значение функции $y(x)$ в точке её пересечения с осью ординат, иначе говоря, оно есть не что иное, как значение уравнения касательной к графику функции в точке $x=0$.