Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Уравнение касательной

Вспомним определение секущей для лучшего понимания что такое касательная.

Определение 1

Секущей называют прямую, пересекающую график кривой в двух точках одновременно.

Касательной прямой к графику кривой называют прямую, проходящую через некую точку кривой и совпадающую с ней в этой точке так, что это прямая лишь касается кривой.

Другое и более ёмкое определение касательной дал Лейбниц.

Определение 2

Лейбниц касательной называл прямую, проведённую через пару точек на рассматриваемой кривой, не совпадающих между собой, но находящихся бесконечно близко друг к другу. Из определения Лейбница видно, что касательная является частным случаем секущей.

Геометрический смысл производной в точке и касательной

Рассмотрим определение касательной подробнее.

Касательная и секущая к графику. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Касательная и секущая к графику. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пусть дана некая кривая L, а на ней выбрана произвольная точка M. Возьмём ещё одну точку P, расположенную также на этой кривой и проведём через точки M и P секущую. Теперь поставим точку P ещё ближе к точке M и проведём новую секущую.

Проделаем так ещё несколько раз, каждый раз получая новую секущую, как бы поворачивающуюся вокруг точки M.

В момент, когда очередная точка P находится бесконечно близко к точке M, секущая как бы достигает своего предельного положения, в котором по сути она лишь касается графика.

«Уравнение касательной» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Это положение называется касательной к графику кривой L в точке M.

Уравнение касательной через производную

Теперь узнаем, как найти уравнение касательной.

Рассмотрим некую функцию y(x) и выберем на ней точку M с координатами (a;y(a)).

Сделаем приращение к аргументу x в этой точке, равное Δx и рассмотрим точку P на графике функции с абсциссой, равной x=x+Δx. Значение функции в этой точке будет равно y(a+Δx). Проведём через точки M и P секущую.

Как мы помним из курса математики, угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью абсцисс. Это значит, что угловой коэффициент рассматриваемой нами секущей равен приращению функции y к приращению функции x:

kсекущ.=ΔyΔx(1).

Теперь рассмотрим приращение Δx как бесконечно малую величину. В этом случае точка P с координатами (a;y(a)+Δy) будет приближаться к точке M, стремясь к ней. Следовательно, угловой коэффициент нашей секущей, которая в данном случае является касательной, равен пределу:

kкас.=limΔx0(kсекущ.)

Воспользуемся формулой (1) для секущей:

kкас.=limΔx0ΔyΔx

Данный предел также носит название производной функции y=f(x) в точке x и обозначается как y(x).

Определение 3

Геометрический смысл производной состоит в том, что при условии возможности проведения касательной в точке x к графику исследуемой кривой, такой, что эта касательная не параллельна оси OX, значение производной является угловым коэффициентом проведённой касательной в этой точке.

Иначе данное утверждение можно записать как

kкас.(a)=f(a).

То есть, при составлении уравнения касательной через производную, производная функции является угловым коэффициентом.

Заметим на всякий случай, что сама функция y=f(x) и её производная y(x) — две разные функции, равные между собой в точке x.

Таким образом, в общем виде уравнение касательной будет иметь вид:

y=f(x0)+f(x0)(xx0)(2),

где f(x0) — значение функции в точке x0, а f(x0) — её производная.

Уравнение касательной для параболы

<a href=Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ" />

Рисунок 2. Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим получение уравнения касательной к графику функции на параболе y=ax2 в точке M c координатами (x;y).

Придадим этой точке приращение по оси OX, равное Δx, приращение по оси y тогда составит y+Δy=a(x+Δx)2. Точку с координатами (x+Δx;y+Δy) назовём P.

Теперь чтобы определить тангенс угла секущей MPс осью абсцисс, рассмотрим прямоугольный треугольник MNP. В нём катет MN равен Δx, а второй катет Δy — это приращение ординаты, равное Δy=a(2xΔx+Δx2).

Выразим используя эти данные тангенс угла φ.

tgφ=ΔyΔx=2ax+aΔx

Теперь для получения углового коэффициента рассмотрим это отношение при бесконечно малой величине Δx. Как известно, в этом случае мы имеем дело с пределом:

tgφ=lim.

Благодаря такому соотношению становится легко построить касательную к параболе (рис. 2, б).

Для этого достаточно рассмотреть треугольник \triangle MPT, так как отрезок TP будет равен:

TP=\frac{y}{\mathrm{tg}α}=\frac{ax^2}{2ax}=\frac{x}{2}

То есть, для того чтобы получить касательную, необходимо соединить середину отрезка OP с точкой M.

Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента

Рассмотрим несколько различных случаев значения углового коэффициента для касательной.

Если её угловой коэффициент, то есть, тангенс, равен нулю, то касательная расположена параллельно оси OX, а сама прямая принимает вид y=b.

Если тангенс положительный, то касательная образует острый угол с осью абсцисс, что значит, что вместе с ростом x растёт и y.

В случае если тангенс отрицательный, прямая образует тупой угол с горизонтальной осью, а это значит, что с увеличением значения икса происходит уменьшение значения игрека.

Есть ещё один случай расположения касательной — параллельно оси OY, в этом случае её уравнение описывается как x=c, где c — некая константа.

Другим числом, определяющим положение касательной, является число b, являющееся свободным членом в уравнении прямой y=kx+b. Число b характеризует значение функции y(x) в точке её пересечения с осью ординат, иначе говоря, оно есть не что иное, как значение уравнения касательной к графику функции в точке x=0.

Пример 1

Составить уравнение касательной в точке x=3 для графика функции y(x)=2x^2+3x-6.

Сначала найдём значение функции в точке x=3:

y=2 \cdot 3^2 +3 \cdot 3 – 6 = 21

Теперь определим значение производной для исследуемой функции:

(2x^2+3x-6)’=4x+3

Теперь получим значение углового коэффициента, для этого подставим x=3 в производную:

y’(x)=4 \cdot 3 + 3 = 15

Подставим это значение в формулу для касательной (2):

y_{кас.}=21+15 \cdot (x-3)

y=15x-24 — уравнение касательной получено.

Дата последнего обновления статьи: 14.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Уравнение касательной"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant