Вспомним определение секущей для лучшего понимания что такое касательная.
Секущей называют прямую, пересекающую график кривой в двух точках одновременно.
Касательной прямой к графику кривой называют прямую, проходящую через некую точку кривой и совпадающую с ней в этой точке так, что это прямая лишь касается кривой.
Другое и более ёмкое определение касательной дал Лейбниц.
Лейбниц касательной называл прямую, проведённую через пару точек на рассматриваемой кривой, не совпадающих между собой, но находящихся бесконечно близко друг к другу. Из определения Лейбница видно, что касательная является частным случаем секущей.
Геометрический смысл производной в точке и касательной
Рассмотрим определение касательной подробнее.
Рисунок 1. Касательная и секущая к графику. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пусть дана некая кривая L, а на ней выбрана произвольная точка M. Возьмём ещё одну точку P, расположенную также на этой кривой и проведём через точки M и P секущую. Теперь поставим точку P ещё ближе к точке M и проведём новую секущую.
Проделаем так ещё несколько раз, каждый раз получая новую секущую, как бы поворачивающуюся вокруг точки M.
В момент, когда очередная точка P находится бесконечно близко к точке M, секущая как бы достигает своего предельного положения, в котором по сути она лишь касается графика.
Это положение называется касательной к графику кривой L в точке M.
Уравнение касательной через производную
Теперь узнаем, как найти уравнение касательной.
Рассмотрим некую функцию y(x) и выберем на ней точку M с координатами (a;y(a)).
Сделаем приращение к аргументу x в этой точке, равное Δx и рассмотрим точку P на графике функции с абсциссой, равной x=x+Δx. Значение функции в этой точке будет равно y(a+Δx). Проведём через точки M и P секущую.
Как мы помним из курса математики, угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью абсцисс. Это значит, что угловой коэффициент рассматриваемой нами секущей равен приращению функции y к приращению функции x:
kсекущ.=ΔyΔx(1).
Теперь рассмотрим приращение Δx как бесконечно малую величину. В этом случае точка P с координатами (a;y(a)+Δy) будет приближаться к точке M, стремясь к ней. Следовательно, угловой коэффициент нашей секущей, которая в данном случае является касательной, равен пределу:
kкас.=limΔx→0(kсекущ.)
Воспользуемся формулой (1) для секущей:
kкас.=limΔx→0ΔyΔx
Данный предел также носит название производной функции y=f(x) в точке x и обозначается как y′(x).
Геометрический смысл производной состоит в том, что при условии возможности проведения касательной в точке x к графику исследуемой кривой, такой, что эта касательная не параллельна оси OX, значение производной является угловым коэффициентом проведённой касательной в этой точке.
Иначе данное утверждение можно записать как
kкас.(a)=f′(a).
То есть, при составлении уравнения касательной через производную, производная функции является угловым коэффициентом.
Заметим на всякий случай, что сама функция y=f(x) и её производная y′(x) — две разные функции, равные между собой в точке x.
Таким образом, в общем виде уравнение касательной будет иметь вид:
y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)(2),
где f(x0) — значение функции в точке x0, а f′(x0) — её производная.
Уравнение касательной для параболы
Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ" />
Рисунок 2. Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим получение уравнения касательной к графику функции на параболе y=ax2 в точке M c координатами (x;y).
Придадим этой точке приращение по оси OX, равное Δx, приращение по оси y тогда составит y+Δy=a(x+Δx)2. Точку с координатами (x+Δx;y+Δy) назовём P.
Теперь чтобы определить тангенс угла секущей MPс осью абсцисс, рассмотрим прямоугольный треугольник △MNP. В нём катет MN равен Δx, а второй катет Δy — это приращение ординаты, равное Δy=a(2x⋅Δx+Δx2).
Выразим используя эти данные тангенс угла φ.
tgφ=ΔyΔx=2ax+a⋅Δx
Теперь для получения углового коэффициента рассмотрим это отношение при бесконечно малой величине Δx. Как известно, в этом случае мы имеем дело с пределом:
tgφ=lim.
Благодаря такому соотношению становится легко построить касательную к параболе (рис. 2, б).
Для этого достаточно рассмотреть треугольник \triangle MPT, так как отрезок TP будет равен:
TP=\frac{y}{\mathrm{tg}α}=\frac{ax^2}{2ax}=\frac{x}{2}
То есть, для того чтобы получить касательную, необходимо соединить середину отрезка OP с точкой M.
Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента
Рассмотрим несколько различных случаев значения углового коэффициента для касательной.
Если её угловой коэффициент, то есть, тангенс, равен нулю, то касательная расположена параллельно оси OX, а сама прямая принимает вид y=b.
Если тангенс положительный, то касательная образует острый угол с осью абсцисс, что значит, что вместе с ростом x растёт и y.
В случае если тангенс отрицательный, прямая образует тупой угол с горизонтальной осью, а это значит, что с увеличением значения икса происходит уменьшение значения игрека.
Есть ещё один случай расположения касательной — параллельно оси OY, в этом случае её уравнение описывается как x=c, где c — некая константа.
Другим числом, определяющим положение касательной, является число b, являющееся свободным членом в уравнении прямой y=kx+b. Число b характеризует значение функции y(x) в точке её пересечения с осью ординат, иначе говоря, оно есть не что иное, как значение уравнения касательной к графику функции в точке x=0.
Составить уравнение касательной в точке x=3 для графика функции y(x)=2x^2+3x-6.
Сначала найдём значение функции в точке x=3:
y=2 \cdot 3^2 +3 \cdot 3 – 6 = 21
Теперь определим значение производной для исследуемой функции:
(2x^2+3x-6)’=4x+3
Теперь получим значение углового коэффициента, для этого подставим x=3 в производную:
y’(x)=4 \cdot 3 + 3 = 15
Подставим это значение в формулу для касательной (2):
y_{кас.}=21+15 \cdot (x-3)
y=15x-24 — уравнение касательной получено.