Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Геометрическое применение производной

Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Геометрическое применение производной

Что такое касательная и нормаль к кривой

Определение

Касательная -- прямая которая совпадает и проходит через точку кривой с точностью до первого порядка.

Определение

Нормаль к кривой -- прямая перпендикулярно проходящая через точку касания.

Нормаль и касательная к кривой

Рисунок 1. Нормаль и касательная к кривой

Для кривой вида y = f(x) уравнение касательной в точке М(x0,y0):

\[y-y_{0} =y`(x_{0} )(x-x_{0} )\]

Для кривой вида y = f(x) уравнение касательной в точке М(x0,y0):

\[y-y_{0} =-\frac{1}{y`(x_{0} )} (x-x_{0} )\]
Пример 1

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой $x_0=1$:

\[y=3x^{2} -2x+11\]

Решение.

  1. Найдем значение функции в точке:
  2. \[y_{0} =3\cdot 1^{2} -2\cdot 1+11=12\]
  3. Найдем производную в данной точке:
  4. \[y'(x_{0} )=\left(3x^{2} -2x+11\right){{'} } =6x-2\] \[y'(1)=6\cdot 1-2=4\]
  5. Запишем уравнение касательной:
  6. \[y-y_{0} =y`(x_{0} )(x-x_{0} )\] \[y-12=4(x-1)\] \[y-4x-8=0\]
  7. Запишем уравнение нормали:
  8. \[y-12=-\frac{1}{4} (x-1)\] \[4y+x-49=0\]

Угол между двумя кривыми в точке М(x0,y0) является наименьшим из возможных углов между касательными. Пусть уравнения касательных имеют вид:

$y=f_{1} (x)$ и $y=f_{2} (x)$

$y=k_{1} x+b_{1} $ и $y=k_{2} x+b_{2} $

Тогда тангенс угла между двумя кривыми находится по формуле:

\[tg\gamma =\frac{k_{2} -k_{1} }{1+k_{1} k_{2} } =\frac{f'_{2} (x_{0} )-f'_{1} (x_{0} )}{1+f'_{1} (x_{0} )f'_{2} (x_{0} )} \]
Пример 2

Найти тангенс угла между кривыми, в точке имеющей большую абсциссу.

\[\begin{array}{l} {y=2x^{2} -3} \\ {y=4x-2} \end{array}\]

Решение.

  1. Для того чтобы определить точки пересечения кривых необходимо решить систему уравнений:
  2. \[\left\{\begin{array}{l} {y=2x^{2} -3} \\ {y=4x-2} \end{array}\right. \] \[2x^{2} -3=4x-2\] \[2x^{2} -4x=1\] \[2x(x-2)=1\]

    Значит, кривые пересекаются в точках 0,5 и 2. Максимальной, из которых, является точка x = 2.

  3. Найдем производные в найденной точке
  4. \[y_{1} {{'} } =\left(2x^{2} -3\right){{'} } =4x\] \[y_{2} {{'} } =\left(4x-2\right){{'} } =4\] \[y_{1} {{'} } =4\cdot 2=8\] \[y_{2} {{'} } =4\]
  5. Запишем уравнение тангенса угла и подставим все известные значения
  6. \[tg\gamma =\frac{4-8}{1+8\cdot 4} =\frac{-4}{33} \]

Готовые работы на аналогичную тему

Что такое длина касательной и нормали, подкасательная и поднормаль

Определение

Длина отрезка от пересечения касательной оси ОХ до пересечения с нормалью или кривой называется длиной касательной.

Определение

Проекция отрезка от пересечения касательной оси ОХ до пересечения с нормалью или кривой на ось Ох называется подкасательной (ST).

Определение

Длина отрезка от пересечения нормали с касательной или кривой до точки соприкосновения с осью Ох называется длиной нормали, а проекция отрезка на ось -- поднормалью (SN).

Пример 3

Найти длину подкасательной и поднормали для эллипса x = acost, y = bsint

Эллипс

Рисунок 2. Эллипс

Решение.

  1. Уравнение касательной имеет вид:
  2. \[y-\frac{b}{\sqrt{2} } =-\frac{b}{a} (x-\frac{a}{\sqrt{2} } )\]
  3. Уравнение нормали имеет вид:
  4. \[y-\frac{b}{\sqrt{2} } =\frac{a}{b} (x-\frac{a}{\sqrt{2} } )\]
  5. Длины подкасательной и поднормали:
  6. \[S_{T} =\left|\frac{\frac{b}{\sqrt{2} } }{-\frac{b}{a} } \right|=\frac{a}{\sqrt{2} } \] \[S_{N} =\left|\frac{b}{\sqrt{2} } \left(-\frac{b}{a} \right)\right|=\frac{b^{2} }{a\sqrt{2} } \]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис