Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Тригонометрические неравенства

Решение простейших тригонометрических уравнений

Для начала вспомним формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

  1. sinx=a
  1. cosx=a
  1. tgx=a
  1. ctgx=a

Решение простейших тригонометрических неравенств.

Для решения простейших тригонометрических неравенств нам вначале необходимо решить соответствующее уравнение, а затем, используя тригонометрическую окружность, найти решение неравенства. Рассмотрим решения простейших тригонометрических неравенств на примерах.

Пример 1

sinx12

Найдем решение тригонометрического неравенства sinx=12

x=(1)narcsin12+πn,nZ
x=(1)nπ6+πn,nZ

Отметим решение на тригонометрической окружности

Решение неравенства $sinx\ge \frac{1}{2}$.

Рисунок 1. Решение неравенства sinx12.

Так как неравенство имеет знак «больше или равно», то решение лежит на верхней дуге окружности (относительно решения уравнения).

Ответ: [π6+2πn,5π6+2πn].

Пример 2

$cosx

Найдем решение тригонометрического неравенства cosx=32

x=±arccos32+2πn,nZ
x=±π6+2πn,nZ

Отметим решение на тригонометрической окружности

Решение неравенства

Так как неравенство имеет знак «меньше», то решение лежит на дуге окружности, расположенной слева (относительно решения уравнения).

Ответ: (π6+2πn,11π6+2πn).

Пример 3

tgx33

Найдем решение тригонометрического неравенства tgx=33

x=arctg33+πn,nZ
x=π6+πn,nZ

Здесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса xπ2+πn,nZ

Отметим решение на тригонометрической окружности

Решение неравенства $tgx\le \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Рисунок 3. Решение неравенства tgx33.

Так как неравенство имеет знак «меньше или равно», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 3.

Ответ: (π2+2πn,π6+2πn](π2+2πn,7π6+2πn]

Пример 4

ctgx>3

Найдем решение тригонометрического неравенства ctgx=3

x=arcctg3+πn,nZ
x=π6+πn,nZ

Здесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса xπn,nZ

Отметим решение на тригонометрической окружности

Решение неравенства $ctgx\le \sqrt{3}$.

Рисунок 4. Решение неравенства ctgx3.

Так как неравенство имеет знак «больше», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 4.

Ответ: (2πn,π6+2πn)(π+2πn,7π6+2πn)

Дата последнего обновления статьи: 18.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Тригонометрические неравенства"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant