Решение простейших тригонометрических уравнений
Для начала вспомним формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
- sinx=a
- cosx=a
- tgx=a
- ctgx=a
Решение простейших тригонометрических неравенств.
Для решения простейших тригонометрических неравенств нам вначале необходимо решить соответствующее уравнение, а затем, используя тригонометрическую окружность, найти решение неравенства. Рассмотрим решения простейших тригонометрических неравенств на примерах.
sinx≥12
Найдем решение тригонометрического неравенства sinx=12
x=(−1)narcsin12+πn,n∈ZОтметим решение на тригонометрической окружности
Рисунок 1. Решение неравенства sinx≥12.
Так как неравенство имеет знак «больше или равно», то решение лежит на верхней дуге окружности (относительно решения уравнения).
Ответ: [π6+2πn,5π6+2πn].
$cosx
Найдем решение тригонометрического неравенства cosx=√32
x=±arccos√32+2πn,n∈ZОтметим решение на тригонометрической окружности
Так как неравенство имеет знак «меньше», то решение лежит на дуге окружности, расположенной слева (относительно решения уравнения).
Ответ: (π6+2πn,11π6+2πn).
tgx≤√33
Найдем решение тригонометрического неравенства tgx=√33
x=arctg√33+πn,n∈ZЗдесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса x≠π2+πn,n∈Z
Отметим решение на тригонометрической окружности
Рисунок 3. Решение неравенства tgx≤√33.
Так как неравенство имеет знак «меньше или равно», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 3.
Ответ: (−π2+2πn,π6+2πn]∪(π2+2πn,7π6+2πn]
ctgx>√3
Найдем решение тригонометрического неравенства ctgx=√3
x=arcctg√3+πn,n∈ZЗдесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса x≠πn,n∈Z
Отметим решение на тригонометрической окружности
Рисунок 4. Решение неравенства ctgx≤√3.
Так как неравенство имеет знак «больше», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 4.
Ответ: (2πn,π6+2πn)∪(π+2πn,7π6+2πn)