Свойства функции синуса

Понятие синуса

Перед изучением функции синуса и её свойств, вспомним понятие самого синуса. Определение синуса можно ввести двумя способами: с помощью прямоугольного треугольника и с помощью тригонометрической окружности.

Введем таблицу некоторых значений синуса (таблица 1).

Рисунок 3. Значения синуса.

Свойства функции $f(x)=sinx$

Рассмотрим теперь свойства функции $f\left(x\right)=sinx$.

1. Область определения -- все числа.
2. Так как по определению 2 значение синуса определяется с помощью единичной окружности, то область значения данной функции отрезок $[-1,\ 1]$.
3. $f\left(-x\right)={sin \left(-x\right)\ }=-sinx=-f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=sinx$ нечетна.
4. $f\left(x+2\pi \right)={sin \left(x+2\pi \right)\ }=sinx=f(x)$, следовательно, функция $f\left(x\right)=sinx$ периодическая с минимальным периодом $2\pi$.
5. Пересечение с осями координат: При $x=0$, $f\left(0\right)=sin0=0$. При $y=0$, $x=\pi n,n\in Z$.
6. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (2\pi n,\pi +2\pi n),n\in Z$.
7. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in (-\pi +2\pi n,2\pi n),n\in Z$.
8. $f' (x)=(sinx)'=cosx$. $$cosx=0$$ $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$$

Функция $f\left(x\right)=sinx$ возрастает, при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{\pi }{2}+2\pi n\right)$.

Функция $f\left(x\right)=sinx$ убывает при $x\in \left(\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{3\pi }{2}+2\pi n\right)$.

Точки максимума $(\frac{\pi }{2}+2\pi n,1)$.

Точки минимума $(\frac{3\pi }{2}+2\pi n,-1)$.

1. Функция непрерывна на всей области определения.

График функции $y=sinx$

Графиком функции $y=sinx$ является синусоида (рис. 3).

Рисунок 4. Синусоида.

Задачи на построение синусоид