Тригонометрические функции

Понятие тригонометрических функций

Будем измерять величины углов в радианах. Поворот координатной плоскости вокруг начала координат на угол $\alpha$ радиан будем обозначать символом $R^{\alpha }$.

Через $P_{\alpha }$ будем обозначать точку единичной окружности $x^2+y^2=1$ которая получается из точки $P_0$ с координатами $(1,0)$ путем поворота плоскости вокруг начала координат на угол $\alpha$.

Рассмотрим в Декартовой системе координат окружность с радиусом $R>0$ и центром $(0,0)$ (рис. 1).

Рисунок 1. Окружность радиуса $R>0$.

$\left[OB\right]$ получается из $\left[OA\right]=R$ путем поворота на угол $\alpha$ радиан. Пусть $x$ и $y$ абсцисса и ордината точки $B$, соответственно, тогда

Так как в определениях синуса и косинуса их значения не зависят от радиуса окружности, то можно принять $R=1$. Поэтому, другим способом, тригонометрические значения определяются следующим образом:

Функции $sinx$, $cosx$, $tgx$, $ctgx$ называются соответственно тригонометрическими функциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойства и график функции $f(x)=sinx$

1. Область определения -- все числа.
2. Область значения - отрезок $[-1,\ 1]$.
3. Функция нечетна.
4. Функция периодическая с минимальным периодом $2\pi$.
5. При $x=0$, $y=0$. При $y=0$, $x=\pi n,n\in Z$.
6. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (2\pi n,\pi +2\pi n),n\in Z$.
7. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in (-\pi +2\pi n,2\pi n),n\in Z$.
8. Функция $f\left(x\right)=sinx$ возрастает, при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{\pi }{2}+2\pi n\right)$.

Функция $f\left(x\right)=sinx$ убывает при $x\in \left(\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{3\pi }{2}+2\pi n\right)$

Точки максимума $(\frac{\pi }{2}+2\pi n,1)$.

Точки минимума $(\frac{3\pi }{2}+2\pi n,-1)$.

1. Функция непрерывна на всей области определения.

Графиком функции $y=sinx$ является синусоида (рис. 2).

Рисунок 2. Синусоида.

Свойства и график функции $f(x)=cosx$

1. Область определения -- все числа.
2. Область значения - отрезок $[-1,\ 1]$.
3. Функция четна.
4. Функция периодическая с минимальным периодом $2\pi$.
5. При $x=0$, $y=1$. При $y=0$, $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.
6. Функция выше оси $Ox$ при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{\pi }{2}+2\pi n\right),n\in Z$.
7. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in \left(\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{3\pi }{2}+2\pi n\right),n\in Z$.
8. Функция $f\left(x\right)=cosx$ возрастает, при $x\in (-\pi +2\pi n,2\pi n)$.

Функция $f\left(x\right)=cosx$ убывает при $x\in (2\pi n,\pi +2\pi n)$

Точки максимума $(2\pi n,1)$.

Точки минимума $(\pi +2\pi n,-1)$.

1. Функция непрерывна на всей области определения.

Графиком функции $y=cosx$ является косинусоида (рис. 3).

Рисунок 3. Косинусоида.

Свойства и график функции $f(x)=tgx$

1. Область определения $x\in {\mathbb R}{\rm ,}{\rm \ }x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$.
2. Область значения -- все числа.
3. Функция нечетна.
4. Функция периодическая с минимальным периодом $\pi$.
5. При $x=0$, $y=0$. При $y=0$, $x=\pi n,n\in Z$.
6. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in Z$.
7. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in Z$.
8. Функция возрастает на всей области определения.
9. Функция непрерывна на всей области определения.
10. ${\mathop{lim}_{x\to \frac{\pi }{2}+\pi n-0} tgx\ }=-\infty$, ${\mathop{lim}_{x\to \frac{\pi }{2}+\pi n+0} tgx\ }=+\infty$,

Графиком функции $y=tgx$ является тангенсоида (рис. 4).

Рисунок 4. Тангенсоида.

Исследование свойств функции $y=ctgx$ мы предоставляем читателю.

Другие тригонометрические функции

Рисунок 5.