Теорема косинусов звучит следующим образом:
Квадрат любой стороны треугольника равен результату вычитания из суммы квадратов двух других сторон их удвоенного произведения, домноженного на косинус образуемого ими угла.
Формула теоремы косинусов:
$AC^2= AB^2+ BC^2 - 2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC)$.
Другой вариант формулировки теоремы косинусов с использованием понятия проекции одной стороны на другую:
Квадрат стороны треугольника равен числу, получающемуся после вычитания из суммы квадратов двух других сторон их удвоенному произведению проекционного переноса известной стороны на вторую.
Статья: Теорема косинусов
Вывод теоремы косинусов
Рисунок 1. Теорема косинусов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Вывод будем делать для $\triangle ABC$. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AD$.
Для него будет соблюдаться равенство:
$AD^2=AB^2 – BD^2$.
При этом $BD= AB \cdot \cos(\angle ABC)$.
Используя это, квадрат $AD$ можно записать как $AD^2=AB^2 - AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)$.
Перейдём к $\triangle ADC$.
$DC=BC – BD=BC- AB \cdot \cos(\angle ABC)$
В равенство $AC^2=AD^2+DC^2$ подставляем $DC$ и $AD$:
$AC^2= AB^2 – AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)+(BC- AB \cdot \cos(\angle ABC))^2$;
$AC^2=AB^2 – AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)+ BC^2-2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC) + AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)$;
$AC^2= AB^2+ BC^2 - 2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC)$.
Если угол между рассматриваемыми сторонами является $90°$-ным, то $\cosα=0$ и данная теорема приобретает форму $AD^2= AB^2 – BD^2$, в ней невооружённым глазом становится видна одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии.
Из теоремы 1 также проистекает следующее соотношение для четырёхугольника с попарно параллельными отрезками в качестве образующих сторон:
$d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2$.
Здесь $d_1, d_2$ — отрезки, соединяющие несмежные вершины рассматриваемого 4-угольника, а $a,b$ — длины отрезков, образующих его.
Даны стороны четырёхугольника $a$ и $k$ и его острый угол $α$. Причём стороны $a$ и $k$ каждая имеют параллельные и равные им, все вместе они образуют четырёхугольник. Вычислите $BD$ и $AC$.
Рисунок 2. Четырехугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение: Рассмотрим $\triangle ABD$:
$BD^2=a^2+k^2-2 a \cdot k \cdot \cos α$;
$BD=\sqrt{a^2+k^2-2 a \cdot k \cdot \cos α}$.
Теперь $\triangle ACD$:
$AC^2=a^2+k^2-2a \cdot k \cos (180-α)$;
$AC=\sqrt{a^2+k^2-2a \cdot k \cos (180-α)}$.
