Теорема косинусов звучит следующим образом:
Квадрат любой стороны треугольника равен результату вычитания из суммы квадратов двух других сторон их удвоенного произведения, домноженного на косинус образуемого ими угла.
Формула теоремы косинусов:
$AC^2= AB^2+ BC^2 - 2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC)$.
Другой вариант формулировки теоремы косинусов с использованием понятия проекции одной стороны на другую:
Квадрат стороны треугольника равен числу, получающемуся после вычитания из суммы квадратов двух других сторон их удвоенному произведению проекционного переноса известной стороны на вторую.
Вывод теоремы косинусов
Рисунок 1. Теорема косинусов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Вывод будем делать для $\triangle ABC$. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AD$.
Для него будет соблюдаться равенство:
$AD^2=AB^2 – BD^2$.
При этом $BD= AB \cdot \cos(\angle ABC)$.
Используя это, квадрат $AD$ можно записать как $AD^2=AB^2 - AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)$.
Перейдём к $\triangle ADC$.
$DC=BC – BD=BC- AB \cdot \cos(\angle ABC)$
В равенство $AC^2=AD^2+DC^2$ подставляем $DC$ и $AD$:
$AC^2= AB^2 – AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)+(BC- AB \cdot \cos(\angle ABC))^2$;
$AC^2=AB^2 – AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)+ BC^2-2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC) + AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)$;
$AC^2= AB^2+ BC^2 - 2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC)$.
Если угол между рассматриваемыми сторонами является $90°$-ным, то $\cosα=0$ и данная теорема приобретает форму $AD^2= AB^2 – BD^2$, в ней невооружённым глазом становится видна одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии.
Из теоремы 1 также проистекает следующее соотношение для четырёхугольника с попарно параллельными отрезками в качестве образующих сторон:
$d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2$.
Здесь $d_1, d_2$ — отрезки, соединяющие несмежные вершины рассматриваемого 4-угольника, а $a,b$ — длины отрезков, образующих его.
Даны стороны четырёхугольника $a$ и $k$ и его острый угол $α$. Причём стороны $a$ и $k$ каждая имеют параллельные и равные им, все вместе они образуют четырёхугольник. Вычислите $BD$ и $AC$.
Рисунок 2. Четырехугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение: Рассмотрим $\triangle ABD$:
$BD^2=a^2+k^2-2 a \cdot k \cdot \cos α$;
$BD=\sqrt{a^2+k^2-2 a \cdot k \cdot \cos α}$.
Теперь $\triangle ACD$:
$AC^2=a^2+k^2-2a \cdot k \cos (180-α)$;
$AC=\sqrt{a^2+k^2-2a \cdot k \cos (180-α)}$.
