Теорема косинусов

Теорема косинусов звучит следующим образом:

Формула теоремы косинусов:

$AC^2= AB^2+ BC^2 - 2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC)$.

Другой вариант формулировки теоремы косинусов с использованием понятия проекции одной стороны на другую:

Вывод теоремы косинусов

Рисунок 1. Теорема косинусов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Вывод будем делать для $\triangle ABC$. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AD$.

Для него будет соблюдаться равенство:

$AD^2=AB^2 – BD^2$.

При этом $BD= AB \cdot \cos(\angle ABC)$.

Используя это, квадрат $AD$ можно записать как $AD^2=AB^2 - AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)$.

Перейдём к $\triangle ADC$.

$DC=BC – BD=BC- AB \cdot \cos(\angle ABC)$

В равенство $AC^2=AD^2+DC^2$ подставляем $DC$ и $AD$:

$AC^2= AB^2 – AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)+(BC- AB \cdot \cos(\angle ABC))^2$;

$AC^2=AB^2 – AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)+ BC^2-2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC) + AB^2 \cdot \cos^2(\angle ABC)$;

$AC^2= AB^2+ BC^2 - 2BC \cdot AB \cdot \cos(\angle ABC)$.

Если угол между рассматриваемыми сторонами является $90°$-ным, то $\cosα=0$ и данная теорема приобретает форму $AD^2= AB^2 – BD^2$, в ней невооружённым глазом становится видна одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии.

Из теоремы 1 также проистекает следующее соотношение для четырёхугольника с попарно параллельными отрезками в качестве образующих сторон:

$d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2$.

Здесь $d_1, d_2$ — отрезки, соединяющие несмежные вершины рассматриваемого 4-угольника, а $a,b$ — длины отрезков, образующих его.