Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Функция $f(x)=x^2$

Для начала вспомним определение квадратичной функции.

Определение

Функция вида $y=ax^2+bx+c$ , где $a$ отлично от нуля, называется квадратичной функцией.

Функция $f\left(x\right)=x^2$ является частным случаем квадратичной функции, когда $a=1,\ b,c=0$ . Графиком такой функции называется парабола.

Исследуем и построим график функции $f\left(x\right)=x^2$

Область определения -- все числа.
Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то область значения $[0,\infty )$
$f\left(-x\right)={(-x)}^2=x^2=f(x)$ . Значит функция четна.
При $x=0,\ y=0$ -0 функция проходит через начало координат.
$f'\left(x\right)={\left(x^2\right)}'=2x$

$2x=0,$

$x=0$

Методом интервалов, получим:

Функция возрастает при $x\in (0,+\infty )$

Функция убывает при $x\in (-\infty ,0)$

$f^{''}\left(x\right)={\left(2x\right)}^{''}=2>0$ .

Следовательно, функция выпукла на всей области определения.

${\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^2\ }=+\infty$

${\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^2\ }=+\infty$

Для построения графика функции составим таблицу её значений:

определение квадратичной функции

График функции -- парабола (рис. 1)

Парабола

Рис. 1. Парабола $f\left(x\right)=x^2$ .

Функция $f(x)=x^3$

Для начала вспомним определение кубической функции.

Определение

Функция вида $y=ax^3+bx^2+cx+d$ , где $a$ отлично от нуля, называется кубической функцией.

Функция $f\left(x\right)=x^3$ является частным случаем кубической функции, когда $a=1,\ b,c=0$ . Графиком такой функции называется кубическая парабола.

Исследуем и построим график функции $f\left(x\right)=x^3$