Определение степени
Существуют три вида действительных степеней, которые стоит рассматривать отдельно. Рассмотрим вначале понятия степеней с целым, рациональным и иррациональным показателями.
Степенью действительного числа α c целым показателем z, будем называть число, определяющееся формулой:
$\alpha^z=\cases{\alpha \cdot \alpha \cdot…\cdot \alpha(z \ раз), \ при z >0\\1, \ при \ z=0\\\frac{1}{\alpha \cdot \alpha\cdot …\cdot \alpha(z \ раз)}, \ при z
Степенью действительного числа α c рациональным показателем q=rs (r∈Z,s∈N), будем называть число, определяющееся формулой:
αq=s√αr
Нужно отметить, что когда s – четное число, то α>0.
Степенью положительного числа α c иррациональным показателем j, будем называть число αj, определяющееся следующим образом:
Когда α=1, то αj=1;
Когда α>1, то αj будет удовлетворять следующему условию: αq1j.
Когда 0j.
Степенью положительного числа α c иррациональным показателем j, будем называть число αj, равное пределу последовательности αj0,αj1,αj2,…, в которой j0,j1,j2... являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа j.
Здесь стоит заметить, что при j>0 0j=0, а при$ j
Рассмотрим далее свойства степеней.
Формулы степеней
Для начала рассмотрим и докажем свойства для степени с целыми показателями.
Формула 1: αz⋅αk=αz+k
Доказательство.
По определению 1, будем иметь
αz=α⋅α⋅…⋅α(z раз), αk=α⋅α⋅…⋅α(k раз)
Тогда
αz⋅αk=α⋅α⋅…⋅α(z раз)⋅α⋅α⋅…⋅α(k раз)=α⋅α⋅…⋅α(z+k раз)=αz+k
Формула 2: αzαk=αz−k
Доказательство.
αzαk=αz⋅α−k
По формуле 1, имеем
αzαk=αz⋅α−k=αz+(−k)=αz−k
Формула 3: (αβ)z=αz⋅βz
Доказательство.
По определению 1, будем иметь
(αβ)z=αβ⋅αβ⋅…⋅αβ(z раз)
Тогда, по правилу перестановки множителей
(αβ)z=α⋅α⋅…⋅α(z раз)⋅β⋅β⋅…⋅β(z раз)=αz⋅βz
Формула 4: (αz)k=αzk
Доказательство.
По определению 1, будем иметь
(αz)k=αz⋅αz⋅…⋅αz(k раз)
В свою очередь
αz=α⋅α⋅…⋅α(z раз)
Тогда будем получать, что
(αz)k=α⋅α⋅…⋅α(z раз)⋅…⋅α⋅α⋅…⋅α(z раз)(k раз)=α⋅α⋅…⋅α(zk раз)=αzk
Формула 5: αzβz=(αβ)z
Доказательство.
αzβz=αz⋅β−z
По формуле 4, имеем
αzβz=αz⋅β−z=αz⋅(β−1)z=αz⋅(1β)z
По формуле 3, имеем
αzβz=αz⋅(1β)z=(αβ)z
Все эти формулы справедливы также и для рациональных и для иррациональных показателей степеней и также являются их свойствами. Поэтому отдельно мы их рассматривать и доказывать не будем. Также в рамках этой темы будет полезно рассмотреть таблицы степеней, которые здесь мы приводить не будем.
Примеры задач
Найти:
а) 22⋅23−3533
б) (22)2+8442
в) 823+0π
Решение.
а) По свойствам 1 и 2 степеней, получаем:
22⋅23−3533=25−32=32−9=23
б) По свойствам 2, 4 и 5, получаем:
(22)2+8442=42+21224=16+28=16+256=272
в) По определению 2, получаем:
823+0π=3√82+0=22=4
Упростить:
β−1β34+β12⋅β12+β14β12+1⋅β14+1
Решение.
Используя определение 2 степени, а также свойство 1 степеней, будем получать:
β−1β34+β12⋅β12+β14β12+1⋅β14+1=β−1β12(β14+1)⋅β14(β14+1)β12+1⋅β14+1=β−1β12⋅β12β12+1+1=(β12−1)(β12+1)β12+1+1=β12−1+1=√β
