Степень с натуральным показателем

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение степени с натуральным показателем

Определение

Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$ .

Определение степени с натуральным показателем

$a$ - основание степени.

$n$ - показатель степени.

Пример

$3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$

3 -- основание степени,

4 -- показатель степени.

Свойства степени с натуральным показателем

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

Пример

$5^2\cdot 5=5^{2+1}=5^3=125$

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Пример

$\frac{4^5}{4^2}=4^{5-2}=4^3=64$

При умножении степеней с одинаковыми показателями основания можно умножать:

${a^n\cdot b^n=(ab)}^n$

Пример

$3^2\cdot 4^2={12}^2=144$

При умножении степени в степень показатели степеней можно перемножать:

$({a^n)}^m=a^{nm}$

Пример

${(2^6)}^2=2^{12}=4096$

При делении степеней с одинаковыми показателями основания можно делить:

$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

Пример

$\frac{{12}^3}{4^3}={\left(\frac{12}{4}\right)}^3=3^3=27$

«Степень с натуральным показателем» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Если основание степени больше нуля, то и сама степень больше нуля при любом показателе:

$a^n>0,\ при\ a>0$

Пример

$3^3=27 > 0$

Если $a > 1,\ а\ \ m \[a^m

Пример

$3^3=27,\ 3^4=81$ , $27

При $0
$a^m > a^n$

Пример

${\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27},\ {\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{81}$ , $\frac{1}{27}>\frac{1}{81}\to {\left(\frac{1}{3}\right)}^3>{\left(\frac{1}{3}\right)}^4$

При $0\le a\le b,\ n>0$ выполняется равенство:

Пример

$3^3=27,\ 4^3=64,\ 27

Примеры задач на использование свойств степени с натуральным показателем

Задача 1

Вычислить:

$\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}$
$\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}$
$\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}$

Решение:

$\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}$

По свойствам 1 и 2, получим:

$\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}=8^{16+10-24}=8^2=64$

$\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}$

По свойствам 1 и 4, получим:

$\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}=\frac{{(-5)}^{13}}{5^9}=-\frac{5^{13}}{5^9}$

По свойству 2, имеем:

$-\frac{5^{13}}{5^9}=-5^{13-9}=-5^4=-625$

$\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}$

По свойству 4, имеем:

$\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}=\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+2^8}$

По свойству 1, получим:

$\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+2^8}=\frac{2^8\cdot 2^2+2^8\cdot 2+2^8}{2\cdot 2^8+2^8}=\frac{2^8(2^2+2+1)}{2^8(2+1)}=\frac{7}{3}$

Задача 2

Упростить выражение:

${\left(\frac{a}{a-b}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a-b}{a}\right)}^3:{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^4$

Решение: Используя свойство 5, имеем:

${\left(\frac{a}{a-b}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a-b}{a}\right)}^3:{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^4=\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}:\frac{a^4}{{\left(a-b\right)}^4}=$

$=\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^4}{a^4}$

Используя свойства 1 и 2, получим:

$\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^4}{a^4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{a^2}={\left(\frac{a-b}{a}\right)}^2$

Дата последнего обновления статьи: 03.02.2025