Определение степени с натуральным показателем
Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$.
$a$ - основание степени.
$n$ - показатель степени.
$3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$
3 -- основание степени,
4 -- показатель степени.
Свойства степени с натуральным показателем
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\]
$5^2\cdot 5=5^{2+1}=5^3=125$
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \[\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]
$\frac{4^5}{4^2}=4^{5-2}=4^3=64$
- При умножении степеней с одинаковыми показателями основания можно умножать: \[{a^n\cdot b^n=(ab)}^n\]
$3^2\cdot 4^2={12}^2=144$
- При умножении степени в степень показатели степеней можно перемножать: \[({a^n)}^m=a^{nm}\]
${(2^6)}^2=2^{12}=4096$
- При делении степеней с одинаковыми показателями основания можно делить: \[\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n\]
$\frac{{12}^3}{4^3}={\left(\frac{12}{4}\right)}^3=3^3=27$
- Если основание степени больше нуля, то и сама степень больше нуля при любом показателе: \[a^n>0,\ при\ a>0\]
$3^3=27 > 0$
- Если $a > 1,\ а\ \ m \[a^m
$3^3=27,\ 3^4=81$, $27
- При $0 \[a^m > a^n\]
${\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27},\ {\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{81}$, $\frac{1}{27}>\frac{1}{81}\to {\left(\frac{1}{3}\right)}^3>{\left(\frac{1}{3}\right)}^4$
- При $0\le a\le b,\ n>0$ выполняется равенство: \[a^n
Вычислить:
- $\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}$
- $\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}$
- $\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}$
Решение:
- $\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}$
- $\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}$
- $\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}$
По свойствам 1 и 2, получим:
\[\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}=8^{16+10-24}=8^2=64\]По свойствам 1 и 4, получим:
\[\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}=\frac{{(-5)}^{13}}{5^9}=-\frac{5^{13}}{5^9}\]По свойству 2, имеем:
\[-\frac{5^{13}}{5^9}=-5^{13-9}=-5^4=-625\]По свойству 4, имеем:
\[\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}=\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+2^8}\]По свойству 1, получим:
\[\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+2^8}=\frac{2^8\cdot 2^2+2^8\cdot 2+2^8}{2\cdot 2^8+2^8}=\frac{2^8(2^2+2+1)}{2^8(2+1)}=\frac{7}{3}\]Упростить выражение:
\[{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a-b}{a}\right)}^3:{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^4\]Решение: Используя свойство 5, имеем:
\[{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a-b}{a}\right)}^3:{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^4=\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}:\frac{a^4}{{\left(a-b\right)}^4}=\] \[=\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^4}{a^4}\]Используя свойства 1 и 2, получим:
\[\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^4}{a^4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{a^2}={\left(\frac{a-b}{a}\right)}^2\]
