Точность оценки, доверительный интервал

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Оценки, надежность

Чаще всего оценки делятся на два вида: точечная оценка и интервальная оценка.

Определение 1

Точечная оценка -- оценка, которая определяется одним числом.

В математической статистике, при оценке различных совокупностей чаще сего используется интервальная оценка.

Определение 2

Интервальная оценка -- оценка, которая определяется двумя числами, которые являются концами интервала.

Для понятия интервальной оценки используются параметры точности и надежности оценки.

Определение 3

Точность оценки -- положительное число $\delta >0$ , характеризующие величину расхождения между оценками выборки и генеральной совокупности, а именно:

$\left|Q-Q^*\right|1.$

Определение 4

Надежность или доверительная вероятность оценки $Q\ по\ Q^*$ - вероятность $\gamma$ , удовлетворяющее равенству:

\[P\left(Q^*-\delta

Чаще всего надежность имеет значения $0,95,\ 0,99\ и\ 0,999$ , то есть значения, близкие к единице.

Доверительный интервал

Определение 5

Доверительный интервал -- интервал $(Q^*-\delta ,Q^*+\delta )$ , который покрывает неизвестную величину $Q$ c надежностью $\gamma$ , то есть $Q^*-\delta

Понятие доверительного интервала существует для оценки многих параметров выборки: математического ожидания, среднего квадратического отклонения, дисперсии

В данной статье мы не будем вдаваться в подробности вывода формул для нахождения доверительных интервалов.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания при заданном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ .

$\left(\overline{x}-\frac{\sigma t}{\sqrt{n}};\overline{x}+\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}\right)$

где $t$ находится из равенства $2Ф\left(t\right)=\gamma$ .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ .

$\left(\overline{x}-\frac{St}{\sqrt{n}},\overline{x}+\frac{St}{\sqrt{n}}\right)$

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения.

$\left(S\left(1-q\right),S\left(1+q\right)\right),\ при\ q1.$

Доверительный интервал для оценки дисперсии.

$\left(S^2\left(1-q\right),S^2\left(1+q\right)\right),\ при\ q1.$

В последних двух пунктах $q$ имеет табличное значение (таблица 1).

Значения величины $q$.

Рисунок 1. Значения величины $q$ .

Пример задачи на нахождения доверительных интервалов

Пример 1

Пусть величина $X$ имеет нормальное распределение с дисперсией $\sigma =2$ и исправленным среднем квадратическим отклонением $S=1,8$ . Пусть объем выборки $n=25$ , а надежность равна $\gamma =0,99$ .