Оценки, надежность
Чаще всего оценки делятся на два вида: точечная оценка и интервальная оценка.
Точечная оценка -- оценка, которая определяется одним числом.
В математической статистике, при оценке различных совокупностей чаще сего используется интервальная оценка.
Интервальная оценка -- оценка, которая определяется двумя числами, которые являются концами интервала.
Для понятия интервальной оценки используются параметры точности и надежности оценки.
Точность оценки -- положительное число δ>0, характеризующие величину расхождения между оценками выборки и генеральной совокупности, а именно:
|Q−Q∗|1.Надежность или доверительная вероятность оценки Q по Q∗ - вероятность γ, удовлетворяющее равенству:
\[P\left(Q^*-\deltaЧаще всего надежность имеет значения 0,95, 0,99 и 0,999, то есть значения, близкие к единице.
Доверительный интервал
Доверительный интервал -- интервал (Q∗−δ,Q∗+δ), который покрывает неизвестную величину Q c надежностью γ, то есть $Q^*-\delta
Понятие доверительного интервала существует для оценки многих параметров выборки: математического ожидания, среднего квадратического отклонения, дисперсии
В данной статье мы не будем вдаваться в подробности вывода формул для нахождения доверительных интервалов.
- Доверительный интервал для оценки математического ожидания при заданном среднем квадратическом отклонении σ.
где t находится из равенства 2Ф(t)=γ.
- Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ.
- Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения.
- Доверительный интервал для оценки дисперсии.
В последних двух пунктах q имеет табличное значение (таблица 1).
Рисунок 1. Значения величины q.
Пример задачи на нахождения доверительных интервалов
Пусть величина X имеет нормальное распределение с дисперсией σ=2 и исправленным среднем квадратическим отклонением S=1,8. Пусть объем выборки n=25, а надежность равна γ=0,99.
Найти:1) доверительный интервал для оценки математического ожидания.
2) доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения.
3) доверительный интервал для оценки дисперсии.
Решение:
1) Для нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания необходимо найти интервал вида
(¯x−σt√n;¯x+σt√n)Параметр t найдем из формулы
2Ф(t)=γОткуда
Ф(t)=γ2=0,992=0,495Из таблицы значений функции Лапласа получим, что t=2,6.
Имеем интервал:
(¯x−4,6√25;¯x+4,6√25)=(¯x−0,92;¯x+0,92)2) Для начала найдем значение величины q. Так как n=25 и γ=0,99, то из таблицы 1, получим, что q=0,49.
Видим, что $q (S(1−q),S(1+q))
3) Так как, как было показано в пункте 2, $q (S2(1−q),S2(1+q))
\end{enumerate}
Получим:
(1,6524;4,8276)