Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Точность оценки, доверительный интервал

Оценки, надежность

Чаще всего оценки делятся на два вида: точечная оценка и интервальная оценка.

Определение 1

Точечная оценка -- оценка, которая определяется одним числом.

В математической статистике, при оценке различных совокупностей чаще сего используется интервальная оценка.

Определение 2

Интервальная оценка -- оценка, которая определяется двумя числами, которые являются концами интервала.

Для понятия интервальной оценки используются параметры точности и надежности оценки.

Определение 3

Точность оценки -- положительное число δ>0, характеризующие величину расхождения между оценками выборки и генеральной совокупности, а именно:

|QQ|1.
Определение 4

Надежность или доверительная вероятность оценки Q по Q - вероятность γ, удовлетворяющее равенству:

\[P\left(Q^*-\delta

Чаще всего надежность имеет значения 0,95, 0,99 и 0,999, то есть значения, близкие к единице.

Доверительный интервал

Определение 5

Доверительный интервал -- интервал (Qδ,Q+δ), который покрывает неизвестную величину Q c надежностью γ, то есть $Q^*-\delta

Понятие доверительного интервала существует для оценки многих параметров выборки: математического ожидания, среднего квадратического отклонения, дисперсии

В данной статье мы не будем вдаваться в подробности вывода формул для нахождения доверительных интервалов.

  • Доверительный интервал для оценки математического ожидания при заданном среднем квадратическом отклонении σ.
(¯xσtn;¯x+σtn)

где t находится из равенства 2Ф(t)=γ.

  • Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ.
(¯xStn,¯x+Stn)
  • Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения.
(S(1q),S(1+q)), при q1.
  • Доверительный интервал для оценки дисперсии.
(S2(1q),S2(1+q)), при q1.

В последних двух пунктах q имеет табличное значение (таблица 1).

Значения величины $q$.

Рисунок 1. Значения величины q.

Пример задачи на нахождения доверительных интервалов

Пример 1

Пусть величина X имеет нормальное распределение с дисперсией σ=2 и исправленным среднем квадратическим отклонением S=1,8. Пусть объем выборки n=25, а надежность равна γ=0,99.

Найти:1) доверительный интервал для оценки математического ожидания.

2) доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения.

3) доверительный интервал для оценки дисперсии.

Решение:

1) Для нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания необходимо найти интервал вида

(¯xσtn;¯x+σtn)

Параметр t найдем из формулы

2Ф(t)=γ

Откуда

Ф(t)=γ2=0,992=0,495

Из таблицы значений функции Лапласа получим, что t=2,6.

Имеем интервал:

(¯x4,625;¯x+4,625)=(¯x0,92;¯x+0,92)

2) Для начала найдем значение величины q. Так как n=25 и γ=0,99, то из таблицы 1, получим, что q=0,49.

Видим, что $q (S(1q),S(1+q))

(1,80,51;1,81,49)=(0,918;2,682)

3) Так как, как было показано в пункте 2, $q (S2(1q),S2(1+q))

\end{enumerate}

Получим:

(1,6524;4,8276)
Дата последнего обновления статьи: 25.02.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Точность оценки, доверительный интервал"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant