Дисперсия: генеральная, выборочная, исправленная

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Генеральная дисперсия

Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$ . Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Генеральная совокупность -- совокупность случайно отобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, проводимых в неизменных условиях при изучении одной случайной величины данного вида.

Определение 2

Генеральная дисперсия -- среднее арифметическое квадратов отклонений значений вариант генеральной совокупности от их среднего значения.

Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ . Тогда генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$ . Получаем, что в этом случае генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие генерального среднего квадратического отклонения.

Определение 3

Генеральное среднее квадратическое отклонение -- квадратный корень из генеральной дисперсии:

${\sigma }_г=\sqrt{D_г}$

Выборочная дисперсия

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$ . Для начала напомним следующее определение:

Определение 4

Выборочная совокупность -- часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Определение 5

Выборочная дисперсия -- среднее арифметическое значений вариант выборочной совокупности.

«Дисперсия: генеральная, выборочная, исправленная» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ . Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$ . Получаем, что в этом случае выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие выборочного среднего квадратического отклонения.

Определение 6

Выборочное среднее квадратическое отклонение -- квадратный корень из генеральной дисперсии:

${\sigma }_в=\sqrt{D_в}$

Исправленная дисперсия

Для нахождения исправленной дисперсии $S^2$ необходимо умножить выборочную дисперсию на дробь $\frac{n}{n-1}$ , то есть

С этим понятием также связано понятие исправленного среднего квадратического отклонения, которое находится по формуле:

!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной дисперсий за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Пример задачи на нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения

Пример 1

Выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:

Рисунок 1.

Найдем для нее выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Для решения этой задачи для начала сделаем расчетную таблицу:

Рисунок 2.