Генеральная дисперсия
Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:
Генеральная совокупность -- совокупность случайно отобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, проводимых в неизменных условиях при изучении одной случайной величины данного вида.
Генеральная дисперсия -- среднее арифметическое квадратов отклонений значений вариант генеральной совокупности от их среднего значения.
Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Тогда генеральная дисперсия вычисляется по формуле:
Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная дисперсия вычисляется по формуле:
С этим понятием также связано понятие генерального среднего квадратического отклонения.
Генеральное среднее квадратическое отклонение -- квадратный корень из генеральной дисперсии:
\[{\sigma }_г=\sqrt{D_г}\]Выборочная дисперсия
Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:
Выборочная совокупность -- часть отобранных объектов из генеральной совокупности.
Выборочная дисперсия -- среднее арифметическое значений вариант выборочной совокупности.
Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
С этим понятием также связано понятие выборочного среднего квадратического отклонения.
Выборочное среднее квадратическое отклонение -- квадратный корень из генеральной дисперсии:
\[{\sigma }_в=\sqrt{D_в}\]Исправленная дисперсия
Для нахождения исправленной дисперсии $S^2$ необходимо умножить выборочную дисперсию на дробь $\frac{n}{n-1}$, то есть
С этим понятием также связано понятие исправленного среднего квадратического отклонения, которое находится по формуле:
!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной дисперсий за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$
Пример задачи на нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения
Выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:
Рисунок 1.
Найдем для нее выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.
Решение:
Для решения этой задачи для начала сделаем расчетную таблицу:
Рисунок 2.
Величина $\overline{x_в}$ (среднее выборочное) в таблице находится по формуле:
\[\overline{x_в}=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}\]То есть
\[\overline{x_в}=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}=\frac{305}{20}=15,25\]Найдем выборочную дисперсию по формуле:
\[D_в=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{{{(x}_i-\overline{x_в})}^2n_i}}{n}=\frac{523,75}{20}=26,1875\]Выборочное среднее квадратическое отклонение:
\[{\sigma }_в=\sqrt{D_в}\approx 5,12\]Исправленная дисперсия:
\[{S^2=\frac{n}{n-1}D}_в=\frac{20}{19}\cdot 26,1875\approx 27,57\]Исправленное среднее квадратическое отклонение:
\[S=\sqrt{S^2}\approx 5,25\]
