Решение треугольников

Пусть нам даны две стороны $a\ и\ b$ и угол $C$. Найти сторону $c$ и углы $A\ и\ B$.

Решение.

Найдем сначала третью сторону по теореме косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2abcosC$$ $$c=\sqrt{a^2+b^2-2abcosC}$$

Используя вновь теорему косинусов, имеем:

$$a^2=c^2+b^2-2cbcosA$$ $$2cbcosA=c^2+b^2-a^2$$ $$cosA=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$$ $$\angle A=arc\ cos\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\right)$$

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

$$\angle A+\angle B+\angle C={180}^0$$ $$\angle B={180}^0-\angle A-\angle C$$

Ответ: $c=\sqrt{a^2+b^2-2abcosC},\ \ $

$$\angle A=arc\ cos\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\right),\angle B={180}^0-\angle A-\angle C.$$

Пусть нам дана одна сторона $a$ и два угла: $B$ и $C$. Найти стороны $b$ и $c$ и угол $A$.

Решение.

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

$$\angle A+\angle B+\angle C={180}^0$$ $$\angle A={180}^0-\angle B-\angle C$$

По теореме синусов, имеем:

$$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}\Rightarrow b=a\frac{sinB}{sinA}$$ $$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}\Rightarrow c=a\frac{sinC}{sinA}$$

Ответ: $\angle A={180}^0-\angle B-\angle C$,

$$b=a\frac{sinB}{sinA},$$ $$c=a\frac{sinC}{sinA}.$$

Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b,\ c$. Найдем все углы треугольника.

Решение.

Найдем сначала один из углов по теореме косинусов:

$$c^2=a^2+b^2-2abcosC$$ $$2abcosC=a^2+b^2-c^2$$ $$\ cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$ $$\angle C=arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$$

Используя вновь теорему косинусов, имеем:

$$a^2=c^2+b^2-2cbcosA$$ $$2cbcosA=c^2+b^2-a^2$$ $$cosA=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$$ $$\angle A=arc\ cos\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\right)$$

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

$$\angle A+\angle B+\angle C={180}^0$$ $$\angle B={180}^0-\angle A-\angle C$$

Ответ: $\angle C=arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$,

$$\angle A=arc\ cos\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\right),\angle B={180}^0-\angle A-\angle C.$$

Пусть нам даны два угла треугольника $A,\ B$ и сторона $b$. Найдем стороны этого треугольника $a,\ c$ и угол $C$.

Решение.

По теореме синусов, имеем

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$$ $$a=\frac{bsinA}{sinB}$$

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

$$\angle A+\angle B+\angle C={180}^0$$ $$\angle C={180}^0-\angle B-\angle A$$

По теореме косинусов, имеем:

$$c^2=a^2+b^2-2abcosC$$ $$c=\sqrt{a^2+b^2-2abcosC}$$

Ответ: $c=\sqrt{a^2+b^2-2abcosC}$,

$$\angle C={180}^0-\angle B-\angle A,$$ $$a=\frac{bsinA}{sinB}.$$