Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Решение треугольников

Предварительные сведения

Любой треугольник имеет 6 элементов: три стороны и три угла. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим AB=c, BC=a, AC=b (рис. 1).

Треугольник

Рисунок 1. Треугольник

Определение 1

Решить треугольник - значит найти все его шесть элементов по трем данным элементам, определяющим треугольник.

Примеры задач на решение треугольников

Из определения мы видим, что если в треугольнике даны три каких-либо элемента треугольника, то его можно разрешить, то есть найти остальные три элемента этого треугольника. Будем рассматривать решение треугольника на примерах задач.

Пример 1

Пусть нам даны две стороны a и b и угол C. Найти сторону c и углы A и B.

Решение.

Найдем сначала третью сторону по теореме косинусов:

c2=a2+b22abcosC
c=a2+b22abcosC

Используя вновь теорему косинусов, имеем:

a2=c2+b22cbcosA
2cbcosA=c2+b2a2
cosA=c2+b2a22bc
A=arc cos(c2+b2a22bc)

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

A+B+C=1800
B=1800AC

Ответ: c=a2+b22abcosC,  

A=arc cos(c2+b2a22bc),B=1800AC.
Пример 2

Пусть нам дана одна сторона a и два угла: B и C. Найти стороны b и c и угол A.

Решение.

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

A+B+C=1800
A=1800BC

По теореме синусов, имеем:

ba=sinBsinAb=asinBsinA
ca=sinCsinAc=asinCsinA

Ответ: A=1800BC,

b=asinBsinA,
c=asinCsinA.
«Решение треугольников» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 3

Пусть нам даны три стороны треугольника a, b, c. Найдем все углы треугольника.

Решение.

Найдем сначала один из углов по теореме косинусов:

c2=a2+b22abcosC
2abcosC=a2+b2c2
 cosC=a2+b2c22ab
C=arccos(a2+b2c22ab)

Используя вновь теорему косинусов, имеем:

a2=c2+b22cbcosA
2cbcosA=c2+b2a2
cosA=c2+b2a22bc
A=arc cos(c2+b2a22bc)

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

A+B+C=1800
B=1800AC

Ответ: C=arccos(a2+b2c22ab),

A=arc cos(c2+b2a22bc),B=1800AC.
Пример 4

Пусть нам даны два угла треугольника A, B и сторона b. Найдем стороны этого треугольника a, c и угол C.

Решение.

По теореме синусов, имеем

asinA=bsinB
a=bsinAsinB

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

A+B+C=1800
C=1800BA

По теореме косинусов, имеем:

c2=a2+b22abcosC
c=a2+b22abcosC

Ответ: c=a2+b22abcosC,

C=1800BA,
a=bsinAsinB.
Дата последнего обновления статьи: 11.04.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Решение треугольников"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant