Предварительные сведения
Любой треугольник имеет 6 элементов: три стороны и три угла. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим AB=c, BC=a, AC=b (рис. 1).
Рисунок 1. Треугольник
Решить треугольник - значит найти все его шесть элементов по трем данным элементам, определяющим треугольник.
Примеры задач на решение треугольников
Из определения мы видим, что если в треугольнике даны три каких-либо элемента треугольника, то его можно разрешить, то есть найти остальные три элемента этого треугольника. Будем рассматривать решение треугольника на примерах задач.
Пусть нам даны две стороны a и b и угол C. Найти сторону c и углы A и B.
Решение.
Найдем сначала третью сторону по теореме косинусов:
c2=a2+b2−2abcosCИспользуя вновь теорему косинусов, имеем:
a2=c2+b2−2cbcosAПо теореме о сумме углов треугольника, получаем:
∠A+∠B+∠C=1800Ответ: c=√a2+b2−2abcosC,
∠A=arc cos(c2+b2−a22bc),∠B=1800−∠A−∠C.Пусть нам дана одна сторона a и два угла: B и C. Найти стороны b и c и угол A.
Решение.
По теореме о сумме углов треугольника, получаем:
∠A+∠B+∠C=1800По теореме синусов, имеем:
ba=sinBsinA⇒b=asinBsinAОтвет: ∠A=1800−∠B−∠C,
b=asinBsinA,Пусть нам даны три стороны треугольника a, b, c. Найдем все углы треугольника.
Решение.
Найдем сначала один из углов по теореме косинусов:
c2=a2+b2−2abcosCИспользуя вновь теорему косинусов, имеем:
a2=c2+b2−2cbcosAПо теореме о сумме углов треугольника, получаем:
∠A+∠B+∠C=1800Ответ: ∠C=arccos(a2+b2−c22ab),
∠A=arc cos(c2+b2−a22bc),∠B=1800−∠A−∠C.Пусть нам даны два угла треугольника A, B и сторона b. Найдем стороны этого треугольника a, c и угол C.
Решение.
По теореме синусов, имеем
asinA=bsinBПо теореме о сумме углов треугольника, получаем:
∠A+∠B+∠C=1800По теореме косинусов, имеем:
c2=a2+b2−2abcosCОтвет: c=√a2+b2−2abcosC,
∠C=1800−∠B−∠A,