Формулы круга и окружности

Понятие окружности и круга

Перед тем, как ввести основные формулы для окружности и круга, введем, непосредственно понятия окружности и круга, и связанные с ними определения.

Длина окружности

Будем выводить длину произвольной окружности $C$ с помощью её радиуса, равного $τ$.

Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через $C$ и $C'$, у которых радиусы равняются $τ$ и $τ'$. Будем вписывать в эти окружности правильные $n$-угольники, периметры которых равняются $ρ$ и $ρ'$, длины сторон которых равняются $α$ и $α'$, соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного $n$ – угольника равняется

$α=2τsin \frac{180^0}{n}$

Тогда, будем получать, что

$ρ=nα=2nτsin \frac{180^0}{n}$

$ρ'=nα'=2nτ'sin \frac{180^0}{n}$

Значит

$\frac{ρ}{ρ'}=\frac{2nτsin \frac{180^0}{n}}{2nτ'sin \frac{180^0}{n}}=\frac{2τ}{2τ'}$

Получаем, что отношение $\frac{ρ}{ρ'}=\frac{2τ}{2τ'}$ будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть

$\lim_{n→∞}⁡(\frac{ρ}{ρ'})=\frac{2τ}{2τ'}$

С другой стороны, если бесконечно увеличивать число сторон вписанных правильных многоугольников (то есть $n→∞$), будем получать равенство:

$\lim_{n→∞}⁡(\frac{ρ}{ρ'})=\frac{C}{C'}$

Из последних двух равенств получим, что

$\frac{C}{C'}=\frac{2τ}{2τ'}$

То есть

$\frac{C}{2τ}=\frac{C'}{2τ'}$

Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть

$\frac{C}{2τ}=const$

Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать $π$. Приближенно, это число будет равняться $3,14$ (точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом

$\frac{C}{2τ}=π$

Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой

$C=2πτ$

Площадь круга

Будем выводить площадь $S$ произвольного круга с помощью радиуса окружности, ограничивающей его, равного $τ$.

Впишем в такую окружность правильный $n$-угольник, площадь которого равняется $S_n$. В такой многоугольник впишем окружность, площадь которого равняется $S'_n$ (рис. 2).

Будет очевидна верность неравенства

$S >S_n >S'_n$

Используем формулу, которая связывает радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного многоугольника:

$τ=Rcos \frac{180^0}{n}$

Если неограниченно увеличивать число сторон в таком правильном многоугольнике (то есть взять $n→∞$), то получим, что

$cos \frac{180^0}{n}→1$, $τ→R$

Тогда будет выполняться

$S→S'_n$, $S→S_n$

Также

$P_n→2πτ$

По формуле, площадь такого многоугольника равняется $S_n=\frac{1}{2} P_n τ$, следовательно

$S=S_n=\frac{1}{2}\cdot 2πτ\cdot τ=πτ^2$

То есть, для нахождения площади круга, нужно пользоваться формулой

$S=πτ^2$

Пример задачи