Движения

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие движения

Введем для начала предварительные сведения о понятии движения.

Определение 1

Движением плоскости называется такое отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния.

Приведем несколько теорем на понятие движения (в этой статье мы не будем рассматривать их доказательства).

Теорема 1

При движении отрезок отображается на равный ему отрезок.

Теорема 2

При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Теорема 3

Любое движение является наложением.

Теорема 4

При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Далее рассмотрим примеры движений в планиметрии.

Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии связано с симметричностью относительно какой-либо прямой.

Определение 2

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая перпендикулярна к отрезку ${AA}_1$ и проходит через его центр (рис. 1).

<a href= Осевая симметрия">

Рисунок 1. Осевая симметрия

Рассмотрим пример построения осевой симметрии.

Пример 1

Построить осевую симметрию треугольника $ABC$ относительно стороны $BC$.

Решение.

Из определения, очевидно, что при такой осевой симметрии сторона $BC$ перейдет в саму себя. Точка $A$ перейдет в точку $A_1$ такую, что ${AA}_1\bot BC$, ${AH=HA}_1$. Получаем, что треугольник $ABC$ переходит в треугольник $A_1BC$ (Рис. 2).

Рисунок 2.

«Движения» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

С понятием осевой симметрии также связано понятие фигуры, обладающей осевой симметрией.

Определение 3

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если каждая симметричная точка этой фигуры принадлежит этой же фигуре (рис. 3).

Рисунок 3. Пример фигуры, обладающей осевой симметрией

Центральная симметрия

Понятие центральной симметрии связано с симметричностью относительно какой-либо точки.

Определение 4

Точки $X$ и $X_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является центром отрезка ${XX}_1$ (рис. 4).

<a href= Центральная симметрия">

Рисунок 4. Центральная симметрия

Рассмотрим пример построения центральной симметрии.

Пример 2

Построить центральную симметрию треугольника $ABC$ относительно вершины $A$.

Решение.

Из определения, очевидно, что при такой центральной симметрии вершина $A$ перейдет в саму себя. Точка $B$ перейдет в точку $B_1$ такую, что ${BA=AB}_1$, а точка $C$ перейдет в точку $C_1$ такую, что ${CA=AC}_1$. Получаем, что треугольник $ABC$ переходит в треугольник ${AB}_1C_1$ (Рис. 5).

Рисунок 5.

С понятием центральной симметрии также связано понятие фигуры, обладающей центральной симметрией.

Определение 5

Фигура является симметричной относительно точки $O$, если каждая симметричная точка этой фигуры принадлежит этой же фигуре (рис. 6).

Рисунок 6. Пример фигуры, обладающей центральной симметрией

Параллельный перенос

Определение 6

Параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{a}$ - отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $\overrightarrow{{MM}_1}=\overrightarrow{a}$ (Рис. 7).

Рисунок 7. Параллельный перенос

Пример 3

Построить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $\overrightarrow{BC}$.

Решение.

Перенесем каждую вершину треугольника на вектор $\overrightarrow{BC}$. Получаем треугольник $CA_1C_1$ (рис. 8).

Рисунок 8.

Поворот

Определение 7

Поворотом вокруг точки $O$ на угол $\alpha $ называется такое движение плоскости, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что ${OM}_1=OM,\ \angle M{OM}_1=\angle \alpha $ (Рис. 9).

<a href= Поворот">

Рисунок 9. Поворот