Напомним для начала определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными.
Пара чисел называется решением линейного уравнения с двумя переменными, если при их подстановки в уравнение получается верное равенство.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.
Рисунок 1.
Существуют три способа решения систем линейных уравнений: способ подстановки, способ сложения и графический способ. Рассмотрим его на следующем примере:
Рисунок 2.
Способ подстановки
Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается y через x, затем y подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная x. После этого мы легко можем вычислить переменную y.
Рисунок 3.
Выразим из второго уравнения y через x:
Подставим в первое уравнение, найдем x:
Найдем y:
Ответ: (−2, 3)
Способ сложения
Рассмотрим данный способ на примере:
Рисунок 4.
Умножим второе уравнение на 3, получим:
Рисунок 5.
Теперь сложим оба уравнения между собой:
Найдем y из второго уравнения:
Ответ: (−2, 3)
!!! Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».
Графический способ
Графический способ заключается в следующем: Оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.
Рисунок 6.
Выразим из обоих уравнений y через x:
Рисунок 7.
Изобразим оба графика на одной плоскости:
Рисунок 8.
Ответ: (−2, 3)
Пример решения систем линейных уравнений с двумя переменными
Решить систему уравнений тремя способами:
Рисунок 9.
Решение:
1) Способ подстановки.
Выразим x через y:
x=yПодставим в второе уравнение, найдем y:
2y+3y=−5 y=−1Найдем x:
x=−1Ответ: (−1,−1)
2) Способ сложения.
Умножим первое уравнение на 3, получим:
Рисунок 10.
сложим оба уравнения между собой:
5x=−5 x=−1Найдем y из первого уравнения:
−1−y=0 y=−1Ответ: (−1, −1)
3) Графический способ.
Выразим из обоих уравнений y через x:
Рисунок 11.
Изобразим оба графика на одной плоскости:
Рисунок 12.
Ответ: (−1, −1)