Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Система двух случайных величин
Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Пусть дана двумерная случайная величина $(X,Y)$ .

Определение 1

Законом распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$ - называется множество возможных пар чисел $(x_i,\ y_j)$ (где $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$ ) и их вероятностей $p_{ij}$ .

Чаще всего закон распределения двумерной случайной величины записывается в виде таблицы (Таблица 1).

Рисунок 1. Закон распределения двумерной случайной величины.

Вспомним теперь теорему о сложении вероятностей независимых событий.

Теорема 1

Вероятность суммы конечного числа независимых событий ${\ A}_1$ , ${\ A}_2$ , ... , $\ {\ A}_n$ вычисляется по формуле:

$P\left(\sum\limits^n_{i=1}{{\ A}_n}\right)=\sum\limits^n_{i=1}{P({\ A}_n)}$

Пользуясь этой формулой можно получить законы распределения для каждой компоненты двумерной случайной величины, то есть:

Отсюда будет следовать, что сумма всех вероятностей двумерной системы имеет следующий вид:

Рассмотрим подробно (поэтапно) задачу, связанную с понятием закона распределения двумерной случайной величины.

Пример 1

Закон распределения двумерной случайной величины задан следующей таблицей:

Рисунок 2.

Найти законы распределения случайных величин $X,\ Y$ , $X+Y$ и проверить в каждом случае выполнение равенства полной суммы вероятностей единице.

Найдем сначала распределение случайной величины $X$ . Случайная величина $X$ может принимать значения $x_1=2,$ $x_2=3$ , $x_3=5$ . Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.

Найдем вначале сумму вероятностей $x_1$ следующим образом:

Рисунок 3.

$P\left(x_1\right)=0,1+0,05+0,12=0,27$

Аналогично найдем $P\left(x_2\right)$ и $P\left(x_3\right)$ :

$P\left(x_2\right)=0,2+0,14+0,08=0,42$

$P\left(x_3\right)=0,15+0,11+0,05=0,31$

Значит, закон распределения величины $X$ имеет следующий вид:

Рисунок 4.

Проверим выполнение равенства полной суммы вероятностей:

$0,27+0,42+0,31=1-верно.$

Найдем теперь распределение случайной величины $Y$ . Случайная величина $Y$ может принимать значения $x_1=1,$ $x_2=3$ , $x_3=4$ . Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.

Найдем вначале сумму вероятностей $y_1$ следующим образом:

Рисунок 5.

$P\left(y_1\right)=0,1+0,2+0,15=0,45$

Аналогично найдем $P\left(y_2\right)$ и $P\left(y_3\right)$ :

$P\left(y_2\right)=0,05+0,14+0,11=0,3$

$P\left(y_3\right)=0,12+0,08+0,05=0,25$

Значит, закон распределения величины $X$ имеет следующий вид:

Рисунок 6.

Проверим выполнение равенства полной суммы вероятностей:

$0,45+0,3+0,25=1-верно.$

Осталось найти закон распределения случайной величины $X+Y$ .

Обозначим её для удобства через $Z$ : $Z=X+Y$ .

Вначале найдем, какие значения может принимать данная величина. Для этого будем попарно складывать значения величин $X$ и $Y$ . Получим следующие значения: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Теперь, отбрасывая совпавшие величины, получим, что случайная величина $X+Y$ может принимать значения $z_1=3,\ z_2=4,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\$