Пуская задано числовую последовательность $a_1,\ a_2,\dots {,a}_n,\dots ,$ тогда выражение:
$a_1+\ a_2+\dots {+a}_n+\dots =\sum\limits^{\infty }_{n=1}{a_n}$называется числовым рядом.
Введем понятия частичных сумм ряда: $S_1=\ a_1,\ \ S_2=a_1+a_2,\ \ S_3=a_1+a_2+a_3,\dots ,S_n=a_1+a_2+a_3+\dots +\ a_n,\ \dots \ \ .$ Эти частичные суммы образуют некоторую числовую последовательность $\left(S_n\right).$
Если последовательность частичных сумм $S_n$ ряда при неограниченном возрастании $n$, стремится к некоторому числу $S$, то есть:
${\mathop{lim}_{n\to \infty } S_n=\ }S,$то этот ряд называется сходящимся, а число $S$ -- его суммой.
В этом случае записывают:
\[S=a_1+\ a_2+\dots {+a}_n+\dots =\sum\limits^{\infty }_{n=1}{a_n}.\]В противоположном случае ряд называют расходящимся. Если
${\mathop{lim}_{n\to \infty } S_n=\ }\infty ,$то говорят, что расходящийся ряд имеет бесконечную сумму.
Последовательность $\left\{a_{n} \right\}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число М, $M\in $R, что $a_n
Последовательность $\left\{a_{n} \right\}$ называется ограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М $ > 0$.
($M\in $R), что $\forall n:\, \, \, \left|a_{n} \right|\le M$.
Число а называется пределом последовательности $\left\{a_{n} \right\}$,если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon $найдётся такой номер $n_{0} \in $N, зависящий от $\varepsilon $, что для всех натуральных чисел $n\ge n_{0} $ выполняется неравенство $\left|a_{n} -a\right|
Тогда $a=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} \, $означает, что $\forall {\rm \varepsilon }>0\, \, \, \exists n{}_{0} =n_{0} ({\rm \varepsilon })\in $N такое, что для всех $n\ge n_{0} ,\, \, n\in $N: $\left|a_{n} -a\right|
Приведём некоторые свойства сходящихся последовательностей.
- Если последовательность имеет предел, то он единственен.
- Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена.
- Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.
- Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел + $\infty$ (- $\infty$).
Основные свойства сходящихся рядов
Ряды (1) и (2) одновременно сходятся или расходятся, причем если ряд (1) сходится до $S$, то ряд (2) сходится к
\[R_n=S-\left(a_1+\ a_2+\dots {+a}_n\right).\]Присоединение или откидывание конечного числа первых членов не влияет на сходимость или расходимость ряда.
Остаток ряда $R_n\to 0,$ если $n\to \infty $.
Действительно, если в равенстве $R_n=\ S-S_n$ перейти в пределу при $n\to \infty $, то
\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } R_n\ }=\mathop{lim}_{n\to \infty }\left(S-S_n\right)=S-S=0.\]Если ряд (1) сходится и его сумма $S$, то ряд
$\sum\limits^{\infty }_{n=1}{{ca}_n},$где $c=const$, также сходится и его сумма равняется $cS.$
Сходящиеся ряды можно пожно почленно суммировати и отнимать, тоесть если ряды:
$\sum\limits^{\infty }_{n=1}{a_n,}\ \ \sum\limits^{\infty }_{n=1}{b_n,}$сходятся и имеют соответствующие суммы A, B, то сходятся также и ряды
$\sum\limits^{\infty }_{n=1}{{(a}_n\pm b_n)}\ \ $и суммы суммы их равняются $A\ \pm B$.
Найти сумму ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left(3n-2\right)\left(3n+1\right)} $.
Решение. Подсчитаем $S_{n} $:
\[\begin{array}{c} {S_{n} =\frac{1}{1\cdot 4} +\frac{1}{4\cdot 7} +...+\frac{1}{\left(3n-2\right)\left(3n+1\right)} =\frac{1}{3} \left(\left(1-\frac{1}{4} \right)+\left(\frac{1}{4} -\frac{1}{7} \right)+...+\left(\frac{1}{\left(3n-2\right)} -\frac{1}{\left(3n+1\right)} \right)\right)=} \\ {=\frac{1}{3} \left(1-\frac{1}{\left(3n+1\right)} \right).} \end{array}\]По определению $S=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{3} \left(1-\frac{1}{\left(3n+1\right)} \right)=\frac{1}{3} $.
Найти сумму ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n+2} -2\sqrt{n+1} +\sqrt{n} \right) $.
Решение.
\[\begin{array}{c} {S_{n} =\left(\sqrt{3} -2\sqrt{2} +1\right)+\left(\sqrt{4} -2\sqrt{3} +\sqrt{2} \right)+\left(\sqrt{5} -2\sqrt{4} +\sqrt{3} \right)=} \\ {=\left(\sqrt{n+1} -2\sqrt{n} +\sqrt{n-1} \right)+\left(\sqrt{n+2} -2\sqrt{n+1} +\sqrt{n} \right)=1-\sqrt{2} +\sqrt{n+2} -\sqrt{n+1} .} \end{array}\]Пользуясь определением суммы ряда и раскрывая неопределённость вида $\left(\infty -\infty \right)$, при вычислении предела, получим:
\[\begin{array}{c} {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1-\sqrt{2} +\sqrt{n+2} -\sqrt{n+1} \right)=1-\sqrt{2} +\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{n+2-n-1}{\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1} } =} \\ {=1-\sqrt{2} +\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{\sqrt{n+2} +\sqrt{n+1} } =1-\sqrt{2} .} \end{array}\]Исследовать на сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{2} +\frac{1}{6} +\frac{1}{12} +\frac{1}{20} +...\]и найти его сумму.
Решение. Обозначим $\frac{1}{n(n+1)} =a_{n} $ общий член ряда. Тогда частичная сумма ряда $S_{n} =a_{1} +a_{2} +...+a_{n} =\frac{1}{2} +\frac{1}{6} +\, ...\, +\frac{1}{n(n+1)} $. Так как $\frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} $, то $S_{n} =\left(1-\frac{1}{2} \right)+\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{3} \right)+\ldots +\left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \right)=1-\frac{1}{n+1} $. Тогда $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1-\frac{1}{n+1} \right)=1\, \,
Исследовать на сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{4}{4n^{2} +4n-3} =\frac{4}{5} +\frac{4}{21} +\frac{4}{45} +...\]и найти его сумму.
Решение. Обозначим $\frac{4}{4n^{2} +4n-3} =a_{n} $ общий член ряда. Тогда,частичная сумма ряда $S_{n} =\frac{4}{5} +\frac{4}{21} +\, ...\, +\frac{4}{4n^{2} +4n-3} $. Так как
$\frac{4}{4n^{2} +4n-3} =\frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+3} $, то
$S_{n} =\left(1-\frac{1}{5} \right)+\left(\frac{1}{3} -\frac{1}{7} \right)+\left(\frac{1}{5} -\frac{1}{9} \right)\ldots +\left(\frac{1}{2n-3} -\frac{1}{2n+1} \right)\, +\left(\frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+3} \right)=$$=1+\frac{1}{3} -\frac{1}{2n+1} -\frac{1}{2n+3} =\frac{4}{3} -\frac{4n+4}{(2n+1)(2n+3)} $, тогда $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(\frac{4}{3} -\frac{4n+4}{(2n+1)(2n+3)} \right)=\frac{4}{3} \, $, т.е. ряд сходится и его сумма $S=\frac{4}{3} \, $.
