Пусть функция $y=f(x)$ определена в некоторой окрестности точки х0: $U_{R} (x_{0} )=(x_{0} -R,^{} \, x_{0} +R),\, \, \, R>0$ и имеет производные любого порядка,тогда для этой функции формально можно составить ряд по степеням $(x-x_{0} )$:
$f(x)\sim c_{0} +c_{1} (x-x_{0} )+...+\, c_{n} (x-x_{0} )^{n} +...=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k} (x-x_{0} )^{k} $,где $c_{k} =\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} $.
Обобщённый степенной ряд вида $\sum \limits _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} $называется рядом Тейлора для функции $f(x)$ по степеням $(x-x_{0} )$. Если положить $x_{0} =0$, то получим ряд $\sum \limits _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)} (0)}{k!} \cdot x^{k} $, который носит название ряда Маклорена для функции $f(x)$ по степеням $х$.
Задача. Пусть задана функция $f(x)$, бесконечно дифференцируемая в окрестности точки $х_0$: $(x_{0} -R,\, ^{} x_{0} +R)$, и пусть для этой функции составлен ряд Тейлора по степеням $(x-x_{0} )$: $\sum \limits _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} $ и его сумма равна $S(x)$. Если интервал $(x_{0} -R,\, ^{} x_{0} +R),\, \, \, R>0$ является интервалом сходимости данного ряда с радиусом сходимости $R$, то можно записать равенство:
\[S(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} \]при всех $x\in (x_{0} -R,\, ^{} x_{0} +R)\, $.
Выясним, при каких условиях такой степенной ряд имеет своей суммой функцию $f(x)$, т.е. когда $f(x)=S(x)$, поскольку существуют функции, для которых сумма ряда Тейлора не совпадает с данной функцией.
Рассмотрим пример. Дана функция $f(x)=\left\{\begin{array}{l} {e^{-\, \, \frac{1}{x^{2} } } ,\, \, \, x\ne 0} \\ {0,\, \, \, x=0} \end{array}\right. $, которая является бесконечно дифференцируемой $\forall x\in R$. Вычислим производные этой функции в точке $x=0$:$a_{0} =f(0)=0;\, $ $\, a_{1} =f'(0)=\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} e^{-\frac{1}{x^{2} } } \left(\frac{2}{x^{3} } \right)=0;\, ...;\, \, a_{n} =f^{(n)} (0);\, \, a_{n+1} =f^{(n+1)} (0)=0;...$Таким образом, все вычисленные коэффициенты ряда Тейлора--Маклорена для данной функции равны 0, поэтому этот ряд сходится на всей оси, его сумма тождественно равна 0: $S(x)\equiv 0$, однако $f(x)\ne 0$ при $x\ne 0$ ($f(x)=0$ только в начале координат).
Пусть ряд Тейлора $\sum \limits _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} $ имеет интервал сходимости $(x_{0} -R,\, \, ^{} x_{0} +R)$, где R -- радиус сходимости. Тогда, если $S_{n} (x)=\sum \limits _{k=0}^{n}\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} $ - частичная сумма этого ряда, то для любого $x\in (x_{0} -R,\, ^{} \, x_{0} +R)$ существует $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} (x)=S(x)$. Рассмотрим теорему, которая даёт условия того, что $f(x)=S(x)$.
Необходимый и достаточный признак сходимости ряда Тейлора к функции f(x). Для того чтобы ряд Тейлора $\sum \limits _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)} (x_{0} )}{k!} (x-x_{0} )^{k} =S(x) $, $\forall x\in U_{R} (x_{0} )=(x_{0} -R,\, ^{} \, x_{0} +R)$, имел своей суммой функцию $f(x)$, т.е. $f(x)=S(x)$, необходимо и достаточно, чтобы для всех $x\in U_{R} (x_{0} )$ существовал предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } R_{n} (x)=0$, где $R_{n} (x)$ - остаток ряда Тейлора.
Если $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } R_{n} (x)\ne 0$, то сумма ряда Тейлора может не совпадать с данной функцией, т.е. $S(x)\ne f(x)$, хотя сам ряд может сходиться к другой функции.
Лемма. Для любого $x\in R$ существует следующий предел:$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{x^{n} }{n!} =0.$
Достаточные условия разложимости функции f(x) в ряд Маклорена. Пусть функция $f(x)$ определена и бесконечно дифференцируема на интервале $(-a;\, a),\, \, \, a>0$. Если существует такое число $M>0$, что для каждого натурального $n\in N$ и всех $x\in (-a;\, a)$ выполняется неравенство: $\left|f^{(n)} (x)\right|\le M$ (это означает, что производные любого порядка ограничены одним и тем же числом), тогда остаток ряда Маклорена $R_{n} (x)=\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }\frac{f^{(k)} (0)\cdot x^{k} }{k!} \to 0$ при $n\to \infty $, а значит,
\[f(x)=S(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)} (0)}{k!} \cdot x^{k} \, \, \, \, \forall x\in (-a;\, a) .\]Рассмотрим разложение в степенной ряд функции $f(x)=\sin x$. Разложение имеет вид:
$\sin x=x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x^{5} }{5!} -\frac{x^{7} }{7!} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1} }{(2n-1)!} $, $x\in R$ (1)
Вывод. Для функции $f(x)=\sin x$ запишем ряд Маклорена $\sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} $.
Находим все производные: $f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x=\sin \left(x+\frac{{\rm \pi }}{2} \right)$, $f''(x)=\sin \left(x+2\cdot \frac{{\rm \pi }}{2} \right)=-\sin x$, $f'''(x)=\sin \left(x+3\cdot \frac{{\rm \pi }}{2} \right)=-\cos x$, $, ... ,$ $f^{(n)} (x)=\sin \left(x+n\cdot \frac{{\rm \pi }}{2} \right)$. Вычисляем эти производные в точке $х = 0$:
\[f(0)=0,\, \, \, \, f'(0)=1,\, \, \, \, f''(0)=0,\, \, \, \, \, f'''(0)=-1,\, \, \, \, ...,\, \, \, \, f^{(n)} (0)=\sin n\cdot \frac{{\rm \pi }}{2} .\]Подставив эти значения в ряд Маклорена, получаем ряд:
\[x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x^{5} }{5!} -\frac{x^{7} }{7!} +...+\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1} }{(2n-1)!} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1} }{(2n-1)!} . \]Данный ряд сходится при любом $x\in (-\infty ,\, \, +\infty )$; покажем, что он сходится к функции $f(x)=\sin x$. Согласно теореме 2 (поскольку $\left|f^{(n)} (x)\right|=\left|\sin \left(x+n\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right|\le 1=M$, т.е. все производные ограничены одним и тем же числом) данный ряд Маклорена будет сходиться к исходной функции $f(x)=\sin x$ при всех $x\in R$. Таким образом разложение (1) имеет место.
Разложение в степенной ряд функции $f(x)=e^{x} $ имеет вид:
$e^{x} =1+\frac{x}{1} +\frac{x^{2} }{2!} +....+\frac{x^{n} }{n!} +...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n} }{n!} $, $x\in R$ (2)
Вывод. Для данной функции$f(x)=e^{x} $ запишем ряд Маклорена: $\sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} $. Так как функция$f(x)$ - бесконечно дифференцируема, то все производные существуют и равны $f'(x)=f''(x)=...=f^{(n)} (x)=e^{x} ,\, \, $$\, \forall n\in N$.
Находим эти производные в точке $x=0$; получаем $f^{(n)} (0)=e^{0} =1$ для всех $n\in N$, тогда ряд Маклорена приобретает вид:
\[\sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n} }{n!} =1+\frac{x}{1} +\frac{x^{2} }{2!} +....+\frac{x^{n} }{n!} +.... \]Этот ряд сходится для всех $x\in R$. Покажем, что сумма этого ряда равна $f(x)=e^{x} $. Фиксируем некоторое число $a\in R$ и рассмотрим некоторый отрезок [-a; a], на котором $\left|f^{(n)} (x)\right|=\left|e^{x} \right|\le e^{a} =M$ для любого $n\in N$. В этом случае по теореме 2 данный ряд Маклорена будет сходиться на указанном отрезке к исходной функции $f(x)=e^{x} $. Отметим, что это верно для любого фиксированного числа $a\in R$. Разложение (2) имеет место при всех $x\in R$.
