Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0: UR(x0)=(x0−R,x0+R),R>0 и имеет производные любого порядка,тогда для этой функции формально можно составить ряд по степеням (x−x0):
f(x)∼c0+c1(x−x0)+...+cn(x−x0)n+...=∞∑k=0ck(x−x0)k,где ck=f(k)(x0)k!.
Обобщённый степенной ряд вида ∞∑k=0f(k)(x0)k!(x−x0)kназывается рядом Тейлора для функции f(x) по степеням (x−x0). Если положить x0=0, то получим ряд ∞∑k=0f(k)(0)k!⋅xk, который носит название ряда Маклорена для функции f(x) по степеням х.
Задача. Пусть задана функция f(x), бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х0: (x0−R,x0+R), и пусть для этой функции составлен ряд Тейлора по степеням (x−x0): ∞∑k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k и его сумма равна S(x). Если интервал (x0−R,x0+R),R>0 является интервалом сходимости данного ряда с радиусом сходимости R, то можно записать равенство:
S(x)=∞∑k=0f(k)(x0)k!(x−x0)kпри всех x∈(x0−R,x0+R).
Выясним, при каких условиях такой степенной ряд имеет своей суммой функцию f(x), т.е. когда f(x)=S(x), поскольку существуют функции, для которых сумма ряда Тейлора не совпадает с данной функцией.
Рассмотрим пример. Дана функция f(x)={e−1x2,x≠00,x=0, которая является бесконечно дифференцируемой ∀x∈R. Вычислим производные этой функции в точке x=0:a0=f(0)=0; a1=f′(0)=limx→0e−1x2(2x3)=0;...;an=f(n)(0);an+1=f(n+1)(0)=0;...Таким образом, все вычисленные коэффициенты ряда Тейлора--Маклорена для данной функции равны 0, поэтому этот ряд сходится на всей оси, его сумма тождественно равна 0: S(x)≡0, однако f(x)≠0 при x≠0 (f(x)=0 только в начале координат).
Пусть ряд Тейлора ∞∑k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k имеет интервал сходимости (x0−R,x0+R), где R -- радиус сходимости. Тогда, если Sn(x)=n∑k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k - частичная сумма этого ряда, то для любого x∈(x0−R,x0+R) существует limn→∞Sn(x)=S(x). Рассмотрим теорему, которая даёт условия того, что f(x)=S(x).
Необходимый и достаточный признак сходимости ряда Тейлора к функции f(x). Для того чтобы ряд Тейлора ∞∑k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=S(x), ∀x∈UR(x0)=(x0−R,x0+R), имел своей суммой функцию f(x), т.е. f(x)=S(x), необходимо и достаточно, чтобы для всех x∈UR(x0) существовал предел limn→∞Rn(x)=0, где Rn(x) - остаток ряда Тейлора.
Если limn→∞Rn(x)≠0, то сумма ряда Тейлора может не совпадать с данной функцией, т.е. S(x)≠f(x), хотя сам ряд может сходиться к другой функции.
Лемма. Для любого x∈R существует следующий предел:limn→∞xnn!=0.
Достаточные условия разложимости функции f(x) в ряд Маклорена. Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (−a;a),a>0. Если существует такое число M>0, что для каждого натурального n∈N и всех x∈(−a;a) выполняется неравенство: |f(n)(x)|≤M (это означает, что производные любого порядка ограничены одним и тем же числом), тогда остаток ряда Маклорена Rn(x)=∞∑k=n+1f(k)(0)⋅xkk!→0 при n→∞, а значит,
f(x)=S(x)=∞∑k=0f(k)(0)k!⋅xk∀x∈(−a;a).Рассмотрим разложение в степенной ряд функции f(x)=sinx. Разложение имеет вид:
sinx=x−x33!+x55!−x77!+...=∞∑n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!, x∈R (1)
Вывод. Для функции f(x)=sinx запишем ряд Маклорена ∞∑n=0f(n)(0)n!xn.
Находим все производные: f(x)=sinx, f′(x)=cosx=sin(x+π2), f″, f'''(x)=\sin \left(x+3\cdot \frac{{\rm \pi }}{2} \right)=-\cos x, , ... , f^{(n)} (x)=\sin \left(x+n\cdot \frac{{\rm \pi }}{2} \right). Вычисляем эти производные в точке х = 0:
f(0)=0,\, \, \, \, f'(0)=1,\, \, \, \, f''(0)=0,\, \, \, \, \, f'''(0)=-1,\, \, \, \, ...,\, \, \, \, f^{(n)} (0)=\sin n\cdot \frac{{\rm \pi }}{2} .Подставив эти значения в ряд Маклорена, получаем ряд:
x-\frac{x^{3} }{3!} +\frac{x^{5} }{5!} -\frac{x^{7} }{7!} +...+\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1} }{(2n-1)!} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1} }{(2n-1)!} .Данный ряд сходится при любом x\in (-\infty ,\, \, +\infty ); покажем, что он сходится к функции f(x)=\sin x. Согласно теореме 2 (поскольку \left|f^{(n)} (x)\right|=\left|\sin \left(x+n\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right|\le 1=M, т.е. все производные ограничены одним и тем же числом) данный ряд Маклорена будет сходиться к исходной функции f(x)=\sin x при всех x\in R. Таким образом разложение (1) имеет место.
Разложение в степенной ряд функции f(x)=e^{x} имеет вид:
e^{x} =1+\frac{x}{1} +\frac{x^{2} }{2!} +....+\frac{x^{n} }{n!} +...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n} }{n!} , x\in R (2)
Вывод. Для данной функцииf(x)=e^{x} запишем ряд Маклорена: \sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} . Так как функцияf(x) - бесконечно дифференцируема, то все производные существуют и равны f'(x)=f''(x)=...=f^{(n)} (x)=e^{x} ,\, \, \, \forall n\in N.
Находим эти производные в точке x=0; получаем f^{(n)} (0)=e^{0} =1 для всех n\in N, тогда ряд Маклорена приобретает вид:
\sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n} }{n!} =1+\frac{x}{1} +\frac{x^{2} }{2!} +....+\frac{x^{n} }{n!} +....Этот ряд сходится для всех x\in R. Покажем, что сумма этого ряда равна f(x)=e^{x} . Фиксируем некоторое число a\in R и рассмотрим некоторый отрезок -a; a, на котором \left|f^{(n)} (x)\right|=\left|e^{x} \right|\le e^{a} =M для любого n\in N. В этом случае по теореме 2 данный ряд Маклорена будет сходиться на указанном отрезке к исходной функции f(x)=e^{x} . Отметим, что это верно для любого фиксированного числа a\in R. Разложение (2) имеет место при всех x\in R.