Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формулы Маклорена и Тейлора

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Многочлен Тейлора и остаточный член

Пусть задана функция f(x), которая некоторое число раз дифференцируется в точке x0. Найдем многочлен n-й степени вида

Для которого выполняются равенства

Для того, чтобы вычислить коэффициенты многочлена, найдем его производные и рассчитаем их значения в точке х0.

Таким образом, коэффициенты имеют вид:

А многочлен называемый многочленом Тейлора:

Разность между функцией и многочленом носит название остаточного члена.

Формула Тейлора

Формула Тейлора в общем виде:

Формула Маклорена

Формула Маклорена это упрощенное представление формулы Тейлора при х0=0

Пример 1

Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x0 = 1.

\[y(x)=x^{2} +2x-3\]

Решение.

  1. Найдем первую производную в точке 1
  2. \[y'(x)=\left(x^{2} +2x-3\right)^{{'} } =2x+2\] \[y'(1)=2x+2=2\cdot 1+2=4\]
  3. Найдем вторую производную в точке 1
  4. \[y''(x)=\left(2x+2\right)^{{'} } =2\] \[y''(1)=2\]
  5. Найдем третью производную
  6. \[y'''(x)=2'=0\]
  7. Таким образом
  8. \[\begin{array}{l} {y^{(n)} (x)=0} \\ {y^{(n)} (1)=0} \end{array}\] \[y(1)=1^{2} +2\cdot 1-3=0\]
  9. Ряд Тейлора будет иметь вид
  10. \[y(x)=0+\frac{0}{1!} (x-2)+\frac{2}{2!} (x-2)^{3} +\frac{4}{3!} (x-2)^{3} +0+...\] \[=(x-2)+\frac{2}{3} (x-2)^{2} \]
Пример 2

Разложить в ряд Маклорена функцию в точке а = 0.

\[y=e^{2x} \]

Решение.

  1. Найдем первую производную в точке 0
  2. \[y'(x)=\left(e^{2x} \right)^{{'} } =2e^{2x} \] \[y'(0)=2e^{2x} =2e^{2\cdot 0} =2\]
  3. Найдем вторую производную в точке 0
  4. \[y''(x)=\left(2e^{2x} \right)^{{'} } =2\cdot 2e^{2x} =4e^{2x} \] \[y''(0)=4e^{0} =4\]
  5. Найдем третью производную
  6. \[y'''(x)=\left(4e^{2x} \right)^{{'} } =4\cdot 2e^{2x} =8e^{2x} \] \[y'''(0)=8e^{0} =8\]
  7. Таким образом
  8. \[\begin{array}{l} {y^{(n)} (x)=2^{n} e^{2x} } \\ {y^{(n)} (0)=2^{n} } \end{array}\]
  9. Ряд Маклорена будет иметь вид
  10. \[y(x)=e^{kx} =1+\frac{2}{1!} x+\frac{4}{2!} x^{2} +\frac{8}{3!} x^{3} +...+\frac{2^{n} }{n!} x^{n} \]
Пример 3

Разложить по степеням (х -- 1) функцию

\[y=2x^{3} +x^{2} -3x+5\]

Решение.

  1. Найдем первую производную в точке 1
  2. \[y'(x)=6x^{2} +2x-3\] \[y'(1)=6\cdot 1+2\cdot 1-3=5\]
  3. Найдем вторую производную в точке 1
  4. \[y''(x)=\left(6x^{2} +2x-3\right)^{{'} } =12x+2\] \[y''(1)=12\cdot 1+2=14\]
  5. Найдем третью производную в точке 1
  6. \[y'''(x)=\left(12x+2\right)^{{'} } =12\] \[y'''(1)=12\]
  7. Найдем 4 производную в точке 1
  8. \[y^{(4)} (x)=12'=0\] \[y^{(4)} (0)=0\]

    Значит производная функции равна нулю при n больше или равно числу 4.

    \[y(1)=2+1-3+5=5\]
  9. Распишем ряд Тейлора
  10. \[y(x)=5+\frac{0}{1!} (x-1)+\frac{12}{2!} (x-1)^{3} +\frac{14}{3!} (x-1)^{3} +\frac{5}{4!} (x-1)^{4} \] \[y(x)=5+6(x-1)^{3} +\frac{7}{3} (x-1)^{3} +\frac{5}{24} (x-1)^{4} \]
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис