Решение неравенств, сводящихся к квадратным

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

При решении разного рода неравенств удобным способом их решения является приведение их к виду квадратного неравенства.

Иррациональные неравенства

Определение 1

Неравенства, в которых функции находятся под знаком корня, называют иррациональными.

Иррациональные неравенства решаются путем возведения его левой и правой части в необходимую степень. Например, если в неравенстве используются квадратные корни, то обе его части возводят в квадрат, если используются кубические корни, то в куб и т.д.

Замечание 1

Заметим, что возвести во вторую степень обе части неравенства без нарушения равносильности возможно лишь в том случае, когда они неотрицательные. В других случаях не всегда можно получить равносильное неравенство.

Например, имеем верное неравенство $-11

Рассмотрим правила получения равносильных систем для наиболее распространенных типов неравенств.

Неравенство вида $\sqrt{f_1(x)}

Замечание 2

При возведении во вторую степень обеих частей неравенства $\sqrt{f_1(x)}

Пример 1

Найти решение иррационального неравенства $\sqrt{x^2-11x}

Решение.

Составим равносильную систему:

Решение неравенства $x(x-11) \ge 0$ : $x \in (-\infty;0] \cup [11; +\infty)$ .

Из второго неравенства получаем $x > -3$ .

Третье неравенство системы дает результат $3x^2+35x+36 > 0$ . Отсюда получаем решение $x \in (-\infty;-10,5) \cup (-1,1; +\infty)$ .

Составляем систему из трех полученных решений неравенств:

Решением системы будет $x \in [-1,1;0] \cup [11; +\infty)$ . Ответ: $x \in [-1,1;0] \cup [11; +\infty)$ .

Неравенство вида $\sqrt{f_1(x)} > f_2(x)$

Замечание 3

При возведении во вторую степень обеих частей неравенства $\sqrt{f_1(x)} > f_2(x)$ его равносильность не нарушится при выполнении совокупности условий:

Пример 2

Найти решение иррационального неравенства $\sqrt{x+3} \ge 3+4x$ .

Решение.

Воспользуемся совокупностью для решения данного неравенства.

Запишем первую систему неравенств:

Данная система решений не имеет. Запишем вторую систему неравенств:

Решением данной системы является $x \in [-0,34; +\infty)$ .

Найдем решение совокупности, т.е. объединим результаты 1 и 2 пунктов:

Ответ: $x \in [-0,34; +\infty)$ .

Неравенство вида $\sqrt{f_1(x)} \le \sqrt{f_2(x)}$

Замечание 4

При возведении во вторую степень обеих частей неравенства $\sqrt{f_1(x)} \le \sqrt{f_2(x)}$ его равносильность не нарушится при выполнении следующих условий:

Пример 3

Найти решение иррационального неравенства $\sqrt{x^2-3x+2} \le \sqrt{8-3x}$ .

Решение.

Воспользуемся правилом решения данного вида неравенств и составим равносильную систему:

Решив первое неравенство, получим:

$x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$ .

Решив второе неравенство системы, получим:

$x^2-6 \le 0$ ;

$x \in [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$ .

Найдем решение всей системы и решим систему из полученных результатов:

Очевидно, что решением данной системы являются общие решения двух уравнений системы, т.е. $x \in [-\sqrt{6}; 1] \cup [2; \sqrt{6}]$ .

Ответ: $x \in [-\sqrt{6}; 1] \cup [2; \sqrt{6}]$ .

Неравенство вида $\frac{\sqrt{f_1(x)}-f_2(x)}{g(x)} \le 0 ( \ge 0)$

Замечание 5

При возведении во вторую степень обеих частей неравенства $\frac{\sqrt{f_1(x)}-f_2(x)}{g(x)} \le 0 ( \ge 0)$ его равносильность не нарушится при выполнении следующих условий:

Логарифмические неравенства

Замечание 6

Логарифмические неравенства сводятся к решению квадратных неравенств путем перехода к решению неравенств относительно логарифмов к неравенствам для подлогарифмических функций.

«Решение неравенств, сводящихся к квадратным» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Рассмотрим на примере алгоритм решения.

Пример 4

Найти решение неравенства $\log_4 {1-4x+3x^2} \le 5$ .

Решение.

Найдем ОДЗ функции:

$1-4x+3x^2 > 0$ ;

$(x-\frac{1}{3})(x-1) > 0$ ;

$x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (1; +\infty)$ .
Запишем правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 4:

$\log_4 {1-4x+3x^2} \le \log_4 {4^5}$ .
Переходим к решению неравенства относительно подлогарифмических функций. Т.к. основание логарифма $> 1$ , то знак неравенства остается прежним:

$1-4x+3x^2 \le 4^5$ ,

$3x^2-4x-1023 \le 0$ ;

$(x-1,5+\frac{\sqrt{3073}}{3})(x-1,5-\frac{\sqrt{3073}}{3}) \le 0$ .

Функция $f(x)=3x^2-4x-1023$ – парабола с ветками, направленными вверх, поэтому решением данного неравенства будет $x \in [1,5-\frac{\sqrt{3073}}{3};1,5+\frac{\sqrt{3073}}{3}]$ .
Для нахождения решения логарифмического уравнения решим систему из уравнения ОДЗ и найденного решения неравенства из подлогарифмических функций:

Решением системы, а значит и логарифмического уравнения, является $x \in [1,5-\frac{\sqrt{3073}}{3}; \frac{1}{3}) \cup (1; 1,5+\frac{\sqrt{3073}}{3}]$ .