Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Квадратные неравенства

Определение квадратного неравенства

Определение 1

Квадратным неравенством называют неравенство вида

$ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $

где $a$, $b$, $c$ – действительные числа и $a \ne 0$,

$x$ – переменная.

Замечание 1

Квадратным неравенство называется т.к. переменная возведена в квадрат. Также квадратные неравенства называют неравенствами второй степени.

Пример 1

Пример.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – квадратные неравенства.

Как видно из примера, не все элементы неравенства вида $ax^2+bx+c > 0$ присутствуют.

Например, в неравенстве $\frac{5}{11} y^2+\sqrt{11} y>0$ нет свободного члена (слагаемое $с$), а в неравенстве $11z^2+8 \le 0$ нет слагаемого с коэффициентом $b$. Такие неравенства также являются квадратными, но их еще называют неполными квадратными неравенствами. Это лишь означает, что коэффициенты $b$ или $с$ равны нулю.

Методы решения квадратных неравенств

При решении квадратных неравенств используют такие основные методы:

  • графический;
  • метод интервалов;
  • выделения квадрата двучлена.

Графический способ

Замечание 2

Графический способ решения квадратных неравенств $ax^2+bx+c > 0$ (или со знаком $

Данные промежутки и являются решением квадратного неравенства.

Метод интервалов

Замечание 3

Метод интервалов решения квадратных неравенств вида $ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $

Готовые работы на аналогичную тему

Решениями квадратного неравенства со знаком $«»$ – положительные промежутки, со знаками $«≤»$ и $«≥»$ – отрицательные и положительные промежутки (соответственно), включая точки, которые отвечают нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Метод решения квадратного неравенства выделением квадрата двучлена заключается в переходе к равносильному неравенству вида $(x-n)^2 > m$ (или со знаком $

Неравенства, которые сводятся к квадратным

Замечание 4

Зачастую при решении неравенств их нужно привести к квадратным неравенствам вида $ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $ неравенствами, которые сводятся к квадратным.

Замечание 5

Самым простым способом приведения неравенств к квадратным может быть перестановка в исходном неравенстве слагаемых или перенос их, например, из правой части в левую.

Например, при переносе всех слагаемых неравенства $7x > 6-3x^2$ из правой части в левую получается квадратное неравенство вида $3x^2+7x-6 > 0$.

Если переставить в левой части неравенства $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ слагаемые в порядке убывания степени переменной $у$, то это приведет к равносильному квадратному неравенству вида $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$.

При решении рациональных неравенств часто используют приведение их к квадратным неравенствам. При этом необходимо перенести все слагаемые в левую часть и преобразовать получившееся выражение к виду квадратного трехчлена.

Пример 2

Пример.

Привести неравенство $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ к квадратному.

Решение.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

Используя формулы сокращенного умножения и раскрывая скобки, упростим выражение в левой части неравенства:

$7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21,5x-19 > 0$.

Полученное квадратное неравенство далее можно решить одним из указанных выше способов.

Ответ: $x^2-21,5x-19 > 0$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис